Sandsynlighedsfunktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. marts 2020; checks kræver 5 redigeringer .

Sandsynlighedsfunktionen i matematisk statistik er den fælles fordeling af en stikprøve fra en parametrisk fordeling, betragtet som en funktion af en parameter. Dette bruger den fælles tæthedsfunktion (i tilfælde af en stikprøve fra en kontinuerlig fordeling) eller den fælles sandsynlighed (i tilfælde af en prøve fra en diskret fordeling) beregnet for disse stikprøveværdier.

Begreberne sandsynlighed og sandsynlighed hænger tæt sammen. Sammenlign to sætninger:

"Hvad er sandsynligheden for at få 12 i hver af 100 kast med to terninger?"
"Hvor sandsynligt er det, at terningerne ikke er fyldt, hvis ud af hundrede kast hver kaster 12 point?"

Hvis sandsynlighedsfordelingen afhænger af parameteren , så kan vi på den ene side overveje den betingede sandsynlighed for begivenheder for en given parameter , og på den anden side sandsynligheden for en given begivenhed for forskellige værdier af parameteren . Det første tilfælde svarer til en funktion, der afhænger af hændelsen :, og det andet svarer til en funktion, der afhænger af en parameter med en fast hændelse :. Det sidste udtryk er sandsynlighedsfunktionen og viser, hvor sandsynligt den valgte parameterværdi er for en kendt hændelse . $\theta$ $x$ $\theta$ $x$ $\theta$ $x$ $P(x)=P(x\midt \theta )$ $\theta$ $x$ $L(\theta )=L(\theta \mid x=X)$ $\theta$ $x$

Uformelt : hvis sandsynlighed tillader os at forudsige ukendte udfald baseret på kendte parametre, så giver sandsynligheden os mulighed for at estimere ukendte parametre baseret på kendte udfald.

L(\theta \mid x)=p_{\theta }(x)=P_{\theta }(X=x)

Det er vigtigt at forstå, at der ikke kan foretages nogen sandsynlighedsvurderinger ud fra den absolutte værdi af sandsynlighed. Sandsynligheden giver dig mulighed for at sammenligne flere sandsynlighedsfordelinger med forskellige parametre og vurdere i sammenhæng med, hvilke af dem de observerede hændelser er mest sandsynlige.

Definition

Lad en parametrisk familie af sandsynlighedsfordelinger gives , og en stikprøve for nogle gives . Lad os antage, at den fælles fordeling af denne stikprøve er givet af en funktion , hvor enten er en sandsynlighedstæthed eller en sandsynlighedsfunktion af en tilfældig vektor . $\{\mathbb {P} _{\theta }\}_{\theta \in \Theta }$ $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathbb {P} _{\theta }$ $\theta \i \Theta$ $f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} \mid \theta ),\;\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f_{\mathbf {X} }$ $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$

For en fast prøveudtagningsimplementering kaldes funktionen for sandsynlighedsfunktionen [ 1] . $\mathbf {X} =\mathbf {x}$ $f_{\mathbf {X} }(\theta \mid \mathbf {x} )\colon \Theta \to \mathbb {R}$

Log-sandsynlighedsfunktion

I mange applikationer er det nødvendigt at finde maksimum af sandsynlighedsfunktionen, som er forbundet med beregningen af den afledte. Logaritmen er en monotont stigende funktion, så funktionens logaritme vil nå sit maksimum på samme punkt som selve funktionen. På den anden side er produktets logaritme en sum, hvilket forenkler differentiering. Til praktiske beregninger er det derfor at foretrække at bruge logaritmen af sandsynlighedsfunktionen.

Funktionen kaldes den logaritmiske sandsynlighedsfunktion [1] . $L(\theta \mid \mathbf {x} )=\ln f_{\mathbf {X} }(\theta \mid \mathbf {x} )$
Hvis prøven er uafhængig , så

f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} \mid \theta )=\prod \limits _{i=1}^{n}f_{X_{i))(x_{i}\ mid\theta)

hvor er tætheds- eller sandsynlighedsfordelingsfunktionen . Log-sandsynlighedsfunktionen i dette tilfælde har formen $f_{X_{i}}(\cdot \mid \theta )$ $\mathbb {P} _{\theta }$

L(\theta \mid \mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\ln f_{X_{i}}(\theta \mid x_{i})

Eksempel

Lad være sandsynligheden for at få hoveder på et møntkast. Denne værdi kan betragtes som en parameter, der tager værdier fra 0 til 1. Lad begivenheden være tabet af to ørne i to på hinanden følgende møntkast. Forudsat at resultaterne af begge kast er uafhængige identisk fordelte stokastiske variabler , vil sandsynligheden for hændelsen være lig med . Følgelig kl $p_{O}$ $OO$ $OO$ $p_{O}^{2}$ $p_{O}=0{,}5$

P(OO\mid p_{O}=0{,}5)=0{,}25.

Således er sandsynlighedsfunktionen ved værdien af parameteren og under forudsætning af hændelsens forekomst 0,25, hvilket kan skrives matematisk som $p_{O}=0{,}5$ $OO$

L(p_{O}=0{,}5\midt OO)=0{,}25.

Dette faktum er ikke identisk med udsagnet "sandsynligheden for, at givet forekomsten af en begivenhed, er 0,25" på grund af Bayes' sætning . $p_{O}=0{,}5$ $OO$

Sandsynlighedsfunktionen givet i dette eksempel er kvadratisk , så integralet af denne funktion over hele intervallet af parameterværdier vil være lig med 1/3. Dette faktum illustrerer en anden forskel mellem sandsynlighedsfunktionen og den sædvanlige sandsynlighedstæthed, hvis integral skal være lig med én. $p_{O}$

Historie

Plausibilitet blev første gang nævnt i en bog af Thorvald Thiele , udgivet i 1889 [2] .

En komplet beskrivelse af ideen om sandsynlighed blev først givet af Ronald Fisher i 1922 i hans arbejde "The Mathematical Foundations of Theoretical Statistics" [3] . I dette arbejde bruger Fisher også udtrykket maximum likelihood-metoden . Fisher protesterer mod brugen af invers sandsynlighed som grundlag for statistisk inferens og foreslår at bruge sandsynlighedsfunktionen i stedet.

Se også

Maksimal sandsynlighed metode

Noter

↑ 1 2 Borovkov, 2010 , s. 105.
↑ Steffen L. Lauritzen, Aspekter af TN Thieles bidrag til statistik Arkiveret 1. oktober 2007 på Wayback Machine (1999). (Engelsk)
↑ Ronald A. Fisher. "Om det matematiske grundlag for teoretisk statistik". Philosophical Transactions of the Royal Society , A, 222:309-368 (1922). ("plausibilitet" nævnt i afsnit 6.) (eng.)

Litteratur

Borovkov, A. A. Matematisk statistik: Lærebog. - 4. udg., slettet .. -St. Petersborg. : Lan, 2010. - 704 s. - (Lærebøger for universiteter. Speciallitteratur). -ISBN 978-5-8114-1013-2.