Jost funktioner

Jost-funktioner (Jost-løsninger, eng. Jost-funktioner , eng. Jost-løsninger ) - løsninger af den endimensionelle Schrödinger-ligning for et potentiale, der falder til det uendelige.

Matematisk definition

Udtalelse af problemet

Vi betragter en endimensionel Schrödinger - operatør af formen

H=-{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}x^{2}}}+u(x),\quad x\in {\mathbb R},

hvor potentialet er defineret på mængden af reelle tal som en funktion, der tilhører klassen af lokalt integrerbare. Det tilsvarende problem med at finde egenværdier vil have formen [1] $u(x)$ $\lambda =k^{2}$

-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).

Definition

Lad os stille en betingelse for potentialet i formen

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }(1+|x|)|u(x)|{\mathrm d}x<\infty ,

hvilket betyder, at funktionen falder hurtigere end 1/x 2 . Det betyder, at der for reelt k findes løsninger til den endimensionelle Schrödinger-ligning, som er unikt bestemt af asymptotikken i det uendelige $u(x)$ $|x|\til \infty$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}+o(1),\quad x\to -\infty ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+o(1),\quad x\to \infty ,

kaldet Jost-løsninger [1] efter den schweiziske fysiker Res Jost . [2] I det generelle tilfælde (også for komplekse k ) kan det påvises, at givet ovenstående betingelse på , er der fire løsninger til den endimensionelle Schrödinger-ligning, der opfylder integralligningerne $u(x)$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi)f_{1}(\xi,k){\mathrm d}\xi,

\overline {f_{1}}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi - x)}{k}}u(\xi)\overline {f_{1}}(\xi,k){\mathrm d}\xi,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u (\xi)f_{2}(\xi,k){\mathrm d}\xi,

\overline {f_{2}}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi)\overline {f_{2}}(\xi,k){\mathrm d}\xi,

hvor overbjælken betyder kompleks konjugation . Desuden er selve funktionerne og deres afledte med hensyn til x kontinuerlige med hensyn til k at og er analytiske ved, og disse løsninger er unikke. [3] Ligningerne for Jost-funktionerne kan fås direkte fra randbetingelserne og Schrödinger -ligningen ved at bruge den grønnes funktion i formen ${\mathrm I}m\,k\geq 0$ ${\mathrm I}m\,k>0$

G(x,\xi ,k)=\venstre\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k)),&\xi <x\\0 ,&\xi >x\end{array}}\right.,

eller direkte substitution. [fire]

Brug

Jost-funktioner anvendes i spredningsproblemer og teorien om solitoner . [5] [6]

Noter

↑ 1 2 Takhtajian, 2008 , s. 155.
↑ Scheck, 2007 , s. 157.
↑ Dodd et al., 1988 , s. 125-127.
↑ Novokshenov, 2002 , s. 42-43.
↑ Takhtajian, 2008 , s. 136-139.
↑ Novokshenov, 2002 , s. 41-46.

Litteratur

Dodd, R., Eilbeck, J., Gibbon, J., Morris, X. Solitoner og ikke-lineære bølgeligninger. — M .: Mir, 1988. — 694 s.
Novokshenov, V. Yu. Introduktion til teorien om solitoner. - Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2002. - 96 s. - ISBN 5-93972-100-1 .
Slavianinov, S. Iu. Asymptotiske løsninger af den endimensionelle Schrödinger-ligning. - American Mathematical Soc., 1996. - Vol. 151. - 190 s. — (Oversættelser af matematiske monografier, Forelæsninger i anvendt matematik). — ISBN 9780821805367 .
Scheck, F. Kvantefysik. - Springer, 2007. - 738 s. — ISBN 9783540256458 .
Takhtadzhian, L.A. Kvantemekanik for matematikere. - American Mathematical Soc., 2008. - Vol. 95. - 387 s. - (Kandidatstudier i matematik). — ISBN 9780821846308 .