Funktionsudv

Funktionerne Ext er afledte funktorer af funktoren Hom . De dukkede først op i homologisk algebra , hvor de spiller en central rolle, såsom den universelle koefficientsætning , men de bruges nu i mange forskellige områder af matematikken.

Denne funktion optræder naturligt i studiet af moduludvidelser . Navnet kommer fra engelsk. forlængelse - forlængelse.

Motivation: moduludvidelser

Ækvivalens af udvidelser

Lad A være en abelsk kategori . Ifølge Mitchells indlejringssætning , kan vi antage, at vi arbejder med kategorien moduler. En forlængelse af et objekt Z med et objekt X er en kort nøjagtig rækkefølge af formen

0\to X\to Y\to Z\to 0

To forlængelser

0\to X\to Y\to Z\to 0

0\to X\to Y'\to Z\to 0

siges at være ækvivalente, hvis der eksisterer en morfisme , der gør diagrammet $g:Y\to Y'$

{\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\ til &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}

kommutativ, hvor er identitetsmorfismen. Ifølge slangelemmaet er g en isomorfi. $\operatørnavn {id}$

Udvidelsesklassen Z ved X modulo denne ækvivalensrelation danner et sæt, som betegnes og kaldes sættet af forlængelsesklasser Z ved X . $\operatorname {Ext} ^{1}(Z,X)$

Baers sum

Givet to forlængelser

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

man kan konstruere deres Baer sum ved at betragte fiberproduktet over , $EN$

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Vi overvejer faktoren

{\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\))

det vil sige, at vi faktoriserer efter relationerne . Udvidelse $(f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')$

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

hvor den første pil viser til og den anden pil til , kaldes Baer summen af udvidelserne E og E' . $b$ $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ $(e,e')$ $g(e)=g'(e')$

Op til ækvivalens af udvidelser er Baer-summen kommutativ, og den trivielle udvidelse er et neutralt element. Udvidelsen omvendt til 0 → B → E → A → 0 er den samme forlængelse, hvor en af pilene har ændret sit fortegn, for eksempel ændres morfismen g til -g .

Således danner sættet af udvidelser, op til ækvivalens, en abelsk gruppe.

Definition

Lad R være en ring og overvej kategorien af R -moduler R -Mod. Vi fikserer et objekt A af kategorien R -Mod og betegner med T funktiontoren Hom

T(B)=\operatørnavn {Hom} _{R}(A,B)

Denne funktion efterlades nøjagtig . Den har ret afledte funktioner. Eksterne funktioner er defineret som følger:

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

Især . $\operatorname {Ext} ^{0}=\operatørnavn {Hom}$

Dobbelt kan man bruge den kontravariante Hom-funktion og definere . Funktionerne Ext defineret på denne måde er isomorfe. De kan beregnes ved hjælp af henholdsvis den injektive opløsning B eller den projektive opløsning A . $G(A)=\operatørnavn {Hom} _{R}(A,B)$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$

Egenskaber

Udvjeg
R( A , B ) = 0 for i > 0 hvis B er injektiv eller A er projektiv.
Det omvendte er også sandt: hvis Udv1R _
( A , B ) = 0 for alle A , derefter Extjeg
R( A , B ) = 0 for alle A og B er injektiv; hvis Udv1R _
( A , B ) = 0 for alle B , derefter Extjeg
R( A , B ) = 0 for alle B og A er projektiv.
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\ operatørnavn {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta}\ operatørnavn {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ for n ≥ 2 for abelske grupper A og B.
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ for en abelsk gruppe B. Dette kan bruges til at beregne enhver endeligt genereret abelsk gruppe A . $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$
Lad A være et endeligt genereret modul over en kommutativ Noether-ring R . Derefter for enhver multiplikativt lukket delmængde S , ethvert modul B og ethvert n , . $S^{-1}\operatørnavn {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operatørnavn {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S ^{-1}A,S^{-1}B)$
Hvis R er kommutativ og noetherisk, og A er et endeligt genereret R -modul, så er følgende udsagn ækvivalente for ethvert modul B og enhver n :
- $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- For hvert primideal i ringen R , . $\mathfrak{p}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0$
- For hvert maksimalt ideal for ringen R ,. $\mathfrak{m}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0$

Litteratur

McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Weibel, Charles A. En introduktion til homologisk algebra. - Cambridge University Press , 1994. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). - ISBN 978-0-521-55987-4 .