Larmor formel

Larmor-formlen bruges til at beregne den samlede effekt , der udsendes af en ikke-relativistisk punktladning, når den accelererer . Det blev først opnået af Joseph Larmor i 1897 [1] i forbindelse med bølgeteorien om lys .

Når en ladet partikel (såsom en elektron , proton eller ion ) accelereres, udstråles energi i form af elektromagnetiske bølger . For partikelhastigheder, der er små sammenlignet med lysets hastighed , er den samlede udstrålede effekt givet af Larmors formel:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( SI-enheder )

{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3))))

( CGS enheder )

hvor eller er accelerationen, er ladningen, er lysets hastighed, er den elektriske konstant . Den relativistiske generalisering er givet af Lienard-Wiechert potentialerne . ${\dot {v))$ $-en$ $q$ $c$ $\varepsilon _{0}$

I ethvert system af enheder kan den effekt, der udstråles af en elektron, udtrykkes i form af elektronens klassiske radius og elektronens masse som:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

En konsekvens er, at en elektron, der kredser om kernen, som i Bohr-modellen , skal miste energi, falde ned på kernen, og atomet skal kollapse. Denne gåde blev ikke løst før kvantemekanikken blev bygget .

Konklusion

Ved at bruge Lienard-Wiechert potentialformlen kan de elektriske og magnetiske felter af en bevægelig ladning skrives som:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta ))}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

hvor er ladningshastigheden divideret med , er ladningsaccelerationen divideret med c , er enhedsvektoren i retningen , er modulus for radiusvektorforskellen , er ladningsradiusvektoren , og . Vilkårene til højre evalueres med forsinkelsestid . ${\boldsymbol {\beta ))$ $c$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta ))))$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}$ $t_{\text{r}}=tR/c$

Den højre side er summen af de elektriske felter, der er forbundet med hastigheden og accelerationen af en ladet partikel. Det første led afhænger kun af , mens det andet afhænger af både og og vinklen mellem dem. Da det første led er proportionalt med , falder dets absolutte værdi meget hurtigt med afstanden. På den anden side er det andet led proportionalt med , hvilket betyder, at dets absolutte værdi falder meget langsommere med afstanden. På grund af dette er det andet led strålingsfeltet og er ansvarligt for det meste af energitabet af den accelererende ladning. ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta ))))$ $1/R^{2}$ $1/R$

Vi kan finde energifluxtætheden for stråling ved at beregne Poynting-vektoren :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},

hvor underskriften "a" understreger, at vi kun tager den anden term fra Lienard-Wiechert-formlen. Under den antagelse, at partiklen er i hvile i tid [2] , har vi: $t_{\text{r))$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\venstre|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ prik {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Hvis vi introducerer - vinklen mellem accelerationen og observationsvektoren og accelerationen , så er den udstrålede effekt pr. rumvinkelenhed lig med $\theta$ $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta ))}c$

d P d Ω = q 2 fire π c synd 2 ⁡ ( θ ) -en 2 c 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

Den samlede udstrålede effekt findes ved at integrere denne størrelse over alle rumvinkler (det vil sige over og ). Dette giver $\theta$ $\phi$

P = 2 3 q 2 -en 2 c 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

som er Larmor-formlen for en ikke-relativistisk accelereret ladning. Det relaterer den kraft, der udsendes af en partikel, til dens acceleration. Af den ses det tydeligt, at jo hurtigere ladningen accelererer, jo større vil strålingen være. Dette kan forventes, da strålingsfeltet afhænger af accelerationen.

Relativistisk generalisering

Kovariant form

Den ikke-relativistiske Larmor-formel skrevet i form af momentum p har formen (i CGS-enheder) [3]

P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | s ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.

Potensen P kan påvises at være Lorentz-invariant . Derfor skal enhver relativistisk generalisering af Larmor-formlen relatere P til en anden Lorentz-invariant størrelse. optræder i den ikke-relativistiske formel antyder, at den relativistisk korrekte formel skal omfatte 4-skalaren opnået ved at tage prikproduktet af 4-accelerationen a μ = dp μ / d τ med sig selv (her p μ = (γ mc , γ m v ) − 4-impuls ). Korrekt relativistisk generalisering af Larmor-formlen (i CGS-enheder) $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Det kan påvises, at denne foldning er bestemt af udtrykket

d s μ d τ d s μ d τ = β 2 ( d s d τ ) 2 − ( d s d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p}}}{d\tau }}\right)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p}}}{d\tau }}\right)^{2},$

og derfor reduceres den i grænsen β ≪ 1 til , hvorved den ikke-relativistiske sag reproduceres. $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

Ikke-kovariant form

Ovenstående foldning kan også skrives i form af β og dets tidsafledte. Derefter den relativistiske generalisering af Larmor-formlen (i cgs-enheder)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\venstre[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ fed symbol {\beta }}\ gange {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Dette er Lienards resultat , som først blev opnået i 1898. betyder, at når Lorentz-faktoren er meget tæt på enhed (dvs. ), er strålingen udsendt af partiklen ubetydelig. Men efterhånden som , vokser strålingen, ligesom , da partiklen mister sin energi i form af elektromagnetiske bølger. Når acceleration og hastighed er ortogonale, falder effekten desuden med , det vil sige, at koefficienten bliver . Jo hurtigere partiklen bevæger sig, jo større bliver denne sammentrækning. $\gamma ^{6}$ ${\tekststil \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))))$ $\beta \ll 1$ $\beta \rightarrow 1$ $\gamma ^{6}$ $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ $\gamma ^{6}$ ${\displaystyle \gamma ^{4))$

Noter

↑ Larmor J (1897). "LXIII. Om teorien om den magnetiske indflydelse på spektre; og på strålingen fra bevægelige ioner” . Filosofisk tidsskrift . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Arkiveret fra originalen 2022-01-24 . Hentet 2022-01-24 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )Formlen er nævnt i teksten på sidste side.
↑ tilfældet, når det er sværere. Det er for eksempel gennemgået i Griffiths, 2017 . $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Litteratur

J. Larmor, "On a dynamic theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) s. 205-300 (Tredje og sidste i rækken af artikler med samme titel).
J. Jackson. Klassisk elektrodynamik / I. G. Nakhimson. - Moskva, 1. Riga bane, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitation / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
R.P. Feynman . Feynman-forelæsninger om gravitation / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Introduktion til elektrodynamik . — 4. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . - doi : 10.1017/9781108333511 .