Formel differentiering

Formel differentiering er en operation på elementer i en ring af polynomier eller en ring af formelle potensrækker , der gentager en afledning fra matematisk analyse , men ikke baseret på begrebet en grænse , som ikke kan defineres for en vilkårlig ring . Mange egenskaber ved den afledte er også sande for formel differentiering, men nogle, især dem, der vedrører udsagn, der involverer tal, er ikke sande. En af de vigtige anvendelser af formel differentiering i algebra er at kontrollere mangfoldigheden af rødderne af polynomier.

Definition

Definitionen af formel differentiering er som følger: fikser en ring (ikke nødvendigvis kommutativ), lad være en polynomisk ring over . Så er formel differentiering en handling på elementer , hvor if $R$ $A=R[x]$ $R$ $EN$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

så er den formelle afledte

{\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1))

som i tilfældet med polynomier over reelle eller komplekse tal.

Bemærk, at udtrykket ikke betyder multiplikation i ringen, men hvor det ikke bruges under sumtegnet. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

Det skal bemærkes, at for ikke-kommutative ringe støder denne definition på følgende vanskelighed: selve formlen er korrekt, men ikke hvert polynomium kan repræsenteres i standardformen. Brugen af en sådan definition fører til vanskeligheder med at bevise formlen . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

Alternative definitioner, der er egnede til ikke-kommutative ringe

Lad for at være sand lad også Definer afledet for udtryk for type og $r\in R$ $r'=0,$ $x'=1.$ $(a+b)'=a'+b',$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Lad os bevise, at en sådan definition vil give det samme resultat for udtrykket, uanset hvordan det opnås, derfor er definitionen forenelig med lighedsaksiomerne.

$(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
$((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

$((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b 'c)+(ac'+bc')=$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

Linearitet følger af definitionen.

Formlen for den afledede af et polynomium (i standardformen for kommutative ringe) er en konsekvens af definitionen: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i -en}.$

Egenskaber

Man kan bevise en række af følgende påstande.

Formel differentiering er lineær: for alle to polynomier og elementer fra $f(x),g(x)$ $r,s$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Hvis ikke-kommutativ, er der en anden slags linearitetsegenskab, hvor og er placeret til højre. Hvis der ikke er noget identitetselement i formlen, reduceres formlen ikke til formen af summen af polynomier eller summen af et polynomium og et multiplum af et andet polynomium.

R

r

s

R

For formel differentiering er produktreglen opfyldt :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Bemærk vigtigheden af rækkefølgen af faktorerne i tilfælde af en ikke-kommutativ ring .

R

De to givne egenskaber gør det til en afledning af en algebra . $D$ $EN$

Ansøgning

Den afledte giver dig mulighed for at bestemme tilstedeværelsen af flere rødder: hvis det er et felt, så er det en euklidisk ring , for hvilken begrebet rodmangfoldighed kan defineres; for et polynomium og et element derfra eksisterer et ikke-negativt heltal og et polynomium sådan, at $R$ $R[x]$ $f(x)$ $r$ $R$ $Hr}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

hvor er ikke det samme . Graden viser multipliciteten som en rod . Det følger af produktreglen, at det også er antallet af anvendelser af differentieringsoperationen, der kan udføres, indtil den ophører med at være roden af det resterende polynomium. På trods af det faktum, at ikke hvert polynomium af grad i har rødder, under hensyntagen til multipliciteten (dette er kun det maksimale antal), kan du fortsætte med at udvide feltet , hvor dette udsagn er sandt (se algebraisk lukning ). Efter at have passeret til udvidelsen af feltet, kan der også være flere rødder, der ikke er rødder over . For eksempel, hvis er et felt med tre elementer, så er polynomiet $g(r)$ $0$ $Hr}$ $r$ $f$ $Hr}$ $f(x)$ $r$ $n$ $R[x]$ $n$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

har ingen rødder i ; men den formelle afledte er nul, da 3 = 0 i og i enhver forlængelse af , så når vi går over til den algebraiske lukning, vil vi finde en multiplumsrod, der ikke kan findes i . Derfor kan begrebet multiplicitet, defineret ved formel differentiering, effektivt verificeres. Dette viser sig at være særligt vigtigt i Galois-teorien , hvilket gør det muligt at skelne mellem adskillelige og uadskillelige feltudvidelser. $R$ $R$ $R$ $R$

Analytisk afledt korrespondance

Hvis ringen af tal er kommutativ, så er der en anden tilsvarende definition af en formel afledt, der minder om definitionen fra analyse. Et element i ringen er en divisor for ethvert ikke-negativt heltal , og er derfor en divisor for ethvert polynomium . Lad os betegne kvotienten (i ) som : $R$ $YX$ $R[X,Y]$ $Y^{n}-X^{n}$ $n$ $f(Y)-f(X)$ $f$ $R[X,Y]$ $g$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

så er det let at bevise, at (i ) falder sammen med den formelle definition af den afledte givet ovenfor. $g(X,X)$ $R[X]$ $f$

En sådan definition af den afledte er velegnet til formelle potensrækker under den antagelse, at skalarringen er kommutativ.

Noter

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (revideret tredje udgave), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, Du kunne forenkle beregningen, arXiv:0905.3611v1