Faktor system

Et faktorsystem i universel algebra er et objekt opnået ved at opdele et algebraisk system i cosets ved en ækvivalensrelation, der er stabil med hensyn til dets grundlæggende operationer og følgelig også et algebraisk system. En faktoralgebra er et faktorsystem opnået over en algebra (et system uden relationer), en faktormodel er et faktorsystem over en model (et system uden operationer).

Et kvotientsystem er en generalisering af algebraiske faktoriseringer: en kvotientgruppe , en kvotientring , en kvotientalgebra er henholdsvis kvotientsystemer over en gruppe , en ring , en algebra over et felt .

Definition

For et algebraisk system , , og en binær relation , som er en kongruens over , dvs. stabil med hensyn til hver af hovedoperationerne - fra indtræden i relationen af et bestemt sæt følger opfyldelsen - er faktorsystemet konstrueret som et algebraisk system , med en bærer - en faktor sat over med hensyn til kongruensen , følgende sæt operationer: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ $\sigma \subseteq A \ gange A$ $\mathfrak A$ $f_i \i F$ $\forall_{j\i 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma$ $(f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \dots b_{n_i})) \in \sigma$ $\mathfrak A / \sigma$ $A/\sigma$ $EN$ $\sigma$

\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma , \dots \rangle

og følgende sæt af relationer:

\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle

hvor betyder overgang til cosets med hensyn til kongruens : $^\stjerne$ $\sigma$

f^\stjerne ([a_1]_\sigma, \dots [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \dots a_n)]_\sigma

til operationer og

r^\stjerne ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \venstrehøjrepil \eksisterer(b_1\i[a_1]_\sigma, \dots b_m\i[a_m]_\sigma) r( b_1, \dots b_m)

for relationer

(adjacency-klassen er sættet af alle elementer svarende til : ). $[a]_\sigma$ $-en$ $\sigma$ $\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}$

Faktorsystemet er således af samme type som systemet . Det er grundlæggende i definitionen, at stabiliteten af factoring-relationen kun er nødvendig for hovedoperationerne, men ikke for systemets relationer: for operationer er stabilitet nødvendig for en entydig overgang til cosets, mens overgangen til cosets for relationer introduceres af definitionen (eksistensen i hvert af bisættene af mindst ét element i relationen). $\mathfrak A / \sigma$ $\mathfrak A$

Egenskaber

Den naturlige kortlægning , der forbinder et element med dets coset med hensyn til kongruensen: er en homomorfi fra til et kvotientsystem [1] [2] . $\phi: A \to A/\sigma$ $\phi(a) = [a]_\sigma$ $\mathfrak A$ $\mathfrak A/\sigma$

Homomorfi - sætningen siger, at for enhver homomorfi og dens kernekongurens er den naturlige kortlægning (dvs. ) en homomorfi. Hvis homomorfismen er stærk , det vil sige for hvert prædikat fra og ethvert sæt af elementer , indebærer påstanden eksistensen af præbilleder , således at , så er en isomorfi . Således falder mængden af alle faktorsystemer i et givet system, op til isomorfisme, sammen med mængden af alle dets stærkt homomorfe billeder [3] . For algebraer, der ikke har relationer i signaturen, er enhver homomorfi stærk, det vil sige, at sættet af faktoralgebraer for en given algebra, op til isomorfi, falder sammen med sættet af dets homomorfe billeder. $\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')$ ${\displaystyle \sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\ gange A|\phi (x)=\phi (y)\))$ $\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'$ $\phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)$ $\phi$ $r'_k\in R'$ $a'_1,\dots a'_n \i A'$ $(a'_1,\dots a'_n) \in r'_k$ $a_1 \i \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \in \phi^{-1}a'_n$ $(a_1,\prikker a_n) \i r_k$ $\phi$

Noter

↑ Maltsev, 1970 , s. 61-62.
↑ Gretzer, 2008 , Lemma 2, s. 36.
↑ Maltsev, 1970 , Sætning 1, s. 63-64.

Litteratur

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebraer // Generel Algebra / Udg. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Cohn P. Universal Algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev A.I. Algebraiske systemer. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17.500 eksemplarer.
Gratzer, George. . Universal Algebra. 2. udgave. - Springer , 2008. - 585 s. — ISBN 978-0-387-77486-2 .