Landau niveauer

Landau niveauer

Opkaldt efter	Lev Davidovich Landau
Stat	USSR
Opdager eller opfinder	Lev Davidovich Landau
åbningsdato	1930
Formel, der beskriver en lov eller sætning	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad$

Landau-niveauer er energiniveauerne for en ladet partikel i et magnetfelt . Først opnået som en løsning til Schrödinger-ligningen for en elektron i et magnetfelt af L. D. Landau i 1930 . Løsningen på dette problem er egenværdierne og egenfunktionerne af Hamiltonian af den kvanteharmoniske oscillator . Landau-niveauer spiller en væsentlig rolle i kinetiske og termodynamiske fænomener i nærvær af et stærkt magnetfelt.

Indledende bemærkninger

I kvantemekanikken har partikler ifølge den københavnske fortolkning ikke en bestemt koordinat, og man kan kun tale om sandsynligheden for at finde en partikel i et bestemt område af rummet. En partikels tilstand er beskrevet af en bølgefunktion , mens dynamikken i en partikel (eller et system af partikler) ikke er beskrevet af Newtons anden lov, men af den meget mere komplekse Schrödinger-ligning . (Schrodinger-ligningen er kun gyldig i det ikke-relativistiske tilfælde, det vil sige, når partiklernes hastighed er meget mindre end lysets hastighed, ellers gælder den endnu mere komplekse Dirac-ligning .)

Et karakteristisk træk ved Schrödinger-ligningen er, at dens egenværdier kan være diskrete. For eksempel kan planeter kredse om Solen i kredsløb med en hvilken som helst radius og kan have et kontinuerligt sæt af energiværdier, og en elektron i et brintatom i den semiklassiske tilnærmelse "kredser" om en proton i kredsløb med bestemte radier og kan kun have nogle tilladte energier repræsenteret i energispektret.

Med opdagelsen af kvantemekanikkens love opstod spørgsmålet: hvad sker der med partiklernes bevægelse i et magnetfelt i det kvantemekaniske tilfælde? For at løse dette problem er det nødvendigt at løse Schrödinger-ligningen. Dette blev første gang gjort i 1930 af den sovjetiske fysiker Landau . [1] Det viste sig, at en partikel kan bevæge sig langs et magnetfelt med enhver hastighed, men for en given hastighedsprojektion hen over magnetfeltet kan en partikel kun optage diskrete energiniveauer. Disse niveauer blev kaldt Landau-niveauer.

Nedenfor er en semiklassisk løsning af energispektrumproblemet, Schrödinger-ligningen (3), (8) og dens løsning (7), desuden:

ligning (1) beskriver energiniveauerne for en partikel i et magnetfelt (Landau-niveauer),
ligning (10) beskriver energiniveauerne for en partikel i vinkelrette elektriske og magnetiske felter.
ligning (11) beskriver energiniveauerne for en partikel i todimensionelt rum.

Semiklassisk kasus

En elektron, der bevæger sig med en hastighed i et eksternt magnetfelt, er underlagt Lorentz-kraften , $\mathbf{v}$ $\mathbf {B}$

$\mathbf {\dot {p))={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

hvor er impulsvektoren, er den elementære elektriske ladning , er elektronens masse , er lysets hastighed i vakuum, prikken angiver differentiering med hensyn til tid. Dens bane er en helix, og projektionen af kredsløbet på et plan vinkelret på vektoren er en cirkel med radius ( Larmor-radius , er momentumkomponenten vinkelret på feltet). En elektrons bane i momentumrummet er en cirkel med radius . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $e$ $m$ $c$ $\mathbf {B}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot }}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

Ifølge kvantemekanikkens generelle principper kvantiseres bevægelsesenergien begrænset i rummet i et plan vinkelret på magnetfeltet. I den semiklassiske tilnærmelse kan en elektrons energiniveauer findes ud fra Lifshitz - Onsager formlen [2] , som er en konsekvens af Bohr-Sommerfeld kvantiseringsreglen : [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

hvor er den reducerede Planck-konstant , er tværsnitsarealet af overfladen (sfæren) af konstant energi af planet , aksen er rettet langs magnetfeltet, . Erstatning af udtrykket for området $\hbar$ $S\left(E,{{p}_{z}}\right)$ $E=const$ ${{p}_{z}}=const$ $z$ $\left|\gamma \right|\leq 1/2$

$S=\pi p_{\bot}^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

vi får et udtryk for Landau-niveauerne, der er gyldige for : $n\gg 1$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac {p_{z}^{2}}{2m}}.$

hvor er cyklotronfrekvensen (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc))$

3D sag

Energispektret for en elektron (energiværdien afhængig af dens tilstand) i et magnetfelt i det tredimensionelle tilfælde er repræsenteret i en simpel form [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad (1)

hvor er bølgevektoren i retningen , som tages som retningen af magnetfeltet. Her er energispektret let at fortolke. Bevægelse langs et magnetfelt, hvor magnetfeltet ikke påvirker en ladet partikel, er repræsenteret ved plane bølger, som for en fri partikel med en bølgevektor . Bevægelse i retningen vinkelret på magnetfeltet er begrænset, og energispektret er fuldt kvantiseret. Selvom bevægelsen af en partikel sker i tredimensionelt rum, afhænger energispektret kun af to kvantetal : kontinuerlige og diskrete . Det betyder, at partiklens spektrum er degenereret . I det tredimensionelle tilfælde er der en dobbelt degeneration af energi med hensyn til projektionen af bølgevektoren i retningen af det magnetiske felt . Ud over dette er der en degeneration af Landau-niveauet lig med $k_{z}$ ${\overrightarrow {z))$ $(en)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $n$ ${\displaystyle \pm k_{z))$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

Mængden af degeneration af hvert af Landau-niveauerne er lig med forholdet mellem prøvens tværsnitsareal med et plan vinkelret på magnetfeltet til arealet af en cirkel med en radius lig med den magnetiske længde $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB))},

som er den karakteristiske størrelse af området med høj sandsynlighed for at finde partiklen.

Derudover observeres for frie elektroner i tredimensionelt rum en omtrentlig dobbelt degeneration af energiniveauer i spin . Denne degeneration er imidlertid ikke-triviel, da den kræver, at Landau-niveauet for spin-down-elektronen er nøjagtigt det samme som Landau-niveauet for spin-up-elektronen plus elektronens magnetiske moment på magnetfeltet. Med andre ord skal g-faktoren for en elektron være nøjagtig 2 (dette er, som kvanteelektrodynamik viser , ikke helt sandt). Dette krav er så meget desto mere ikke opfyldt for elektroner, som er kvasipartikler i faste stoffer (en elektrons effektive masse og dens magnetiske moment er kun lidt relaterede). Problemet med en elektron med spin og g-faktor lig med 2 er dog af en vis teoretisk interesse, da det kan repræsenteres som et problem med supersymmetri [5] .

Om løsningen af Schrödinger-ligningen for en elektron i et magnetfelt

Den stationære Schrödinger-ligning for en elektron i et magnetfelt er repræsenteret som

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ højre)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)

hvor og er henholdsvis elektronmomentumoperatoren og magnetfeltets vektorpotentiale er elektronbølgefunktionen , er energien, og indekset angiver det n'te Landau-niveau. I Landau-måleren kan ligningen skrives på formen $\hat{\mathbf{p}}$ ${\hat {\mathbf {A} ))$ $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ $E_{n}$ $n$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y }}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

For at adskille variablerne i denne ligning er det praktisk at se efter løsningen som et produkt af tre funktioner

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y))))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

hvor og er dimensionerne af systemet, og er bølgevektorer, betyder indekset for bølgefunktionen , at den afhænger af den som parameter. Substituerer vi i , får vi en endimensionel ligning for $L_{z}$ ${\displaystyle L_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle k_{y))$ ${\displaystyle k_{y))$ $\psi _{n,k_{y}}(x)$ $(5)$ $(fire)$ $\psi _{n,k_{y}}(x)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Denne ligning er intet andet end Schrödinger-ligningen for en kvanteharmonisk oscillator med et skift i potentialets minimum. Løsningerne kan således skrives som [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))) e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\venstre({\ frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)

hvor er det hermitiske polynomium af orden . $H_n(x)$ $n$

Om indflydelsen af det elektriske felt

Lad os nu overveje virkningen af et elektrisk felt vinkelret på magnetfeltet på en elektrons energispektrum. Lad os omskrive ligningen under hensyntagen til det elektriske felt rettet langs : [6] $(6)$ $\varepsilon$ $x$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

som, efter at have valgt den fulde firkant, repræsenteres som

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

hvor , og . Vi ser fra Hamiltonian, at det elektriske felt simpelthen forskyder centrum af bølgefunktionen. Energispektret er givet ved følgende udtryk: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega _{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Todimensional kasus

I kvantedimensionelle strukturer , hvor bevægelsen af ladningsbærere er begrænset i en af retningerne (for eksempel en kvantebrønd nær grænsen af en heterojunction ), bliver energispektret diskret for bevægelse langs den tilsvarende koordinat (f.eks. akse ). Hvis kun et kvanteniveau med minimumsenergi fyldes i den potentielle brønd , opfører bærerne sig som en todimensionel gas , dvs. under indflydelse af eksterne felter, ikke tre, men to komponenter af momentum kan allerede ændre sig. [7] $z$ $E_{0}$

I dette tilfælde består elektronspektret af ækvidistante niveauer (med afstanden mellem niveauerne , hvor er bestemt af den magnetiske feltkomponent langs aksen ). Elektronenergien er $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Hvis vi vælger energi som oprindelse, vil formel (11) have formen: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Noter

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (tysk) // Z. Phys .. - 1930. - Bd. 64 . — S. 629 .
↑ A. E. Meyerovich. Lifshitz-Onsager kvantisering . Encyclopedia of Physics and Engineering . Hentet 15. januar 2022. Arkiveret fra originalen 2. juni 2022. (Russisk)
↑ Abrikosov A.A. Grundlæggende om teorien om metaller / Ed. L.A. Falkovsky. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 s. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — 3. Oplag, revideret og forstørret. — M .: Nauka , 1974 . — 752 s. - ("Teoretisk fysik", bind III).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Supersymmetry in quantum mechanics // UFN. - 1985. - T. 146 , no. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Arkiveret fra originalen den 13. juli 2021.
↑ EN ADAMS og TD HOLSTEIN. KVANTETEORI OM TRANSVERS GALVANO - MAGNETISKE FÆNOMEN // J. Phys. Chem. faste stoffer. - Pergamon Press, 1959. - Vol. 10 . — S. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. FYSIK AF LAVDIMENSIONALE SYSTEMER / Redigeret af V. I. Ilyin og A. Ya. Shik. - Skt. Petersborg: "Nauka", 2001. - 160 s. — ISBN 5-02-024966-1 . (Russisk)

Litteratur

Landau niveauer // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .