Ultrafinitisme

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. august 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Ultrafinitisme (også kendt som ultraintuitionisme [1] , streng formalisme [2] , streng finitisme [2] , aktualitet [1] , prædikativisme [2] [3] og stærk finitisme ) [2]  er en ekstrem form for finitisme , manifesteret i en række matematiske og filosofiske og matematiske begreber og teorier. Fælles for alle former for matematisk finitisme er afvisningen af ​​at bruge en intuitivt tvivlsom abstraktion af den faktiske uendelighed, for eksempel et uendeligt sæt af naturlige tal som en komplet, fuldendt i konstruktionen af ​​et objekt; ultrafinitisme derimod benægter eller betragter potentiel uendelighed, det vil sige muligheden for at konstruere vilkårligt store konstruktive objekter, som en abstraktion med lidt indhold; som en konsekvens, for eksempel, afvises anvendeligheden af ​​aritmetiske operationer på alle naturlige tal.

Baggrund

Ultrafinitisme fortsætter traditionerne for filosofisk finitisme , som var meget almindelig i den antikke verden og i middelalderen, især på grund af Aristoteles ' autoritet , der benægtede den faktiske uendelighed. I moderne tid i matematik er dannelsen af ​​disse synspunkter forbundet med fremkomsten af ​​Georg Cantors naive mængdeteori , som frit opererede på faktiske uendeligheder, hvilket førte til opdagelsen af ​​en række paradokser . Forsøg på at eliminere paradokser og bevise sammenhængen i matematikken førte til gengæld til fremkomsten og dannelsen af ​​en række nye matematiske tendenser - Hilberts finitisme , formalisme , logicisme , intuitionisme og konstruktivisme . Efter fremkomsten af ​​den aksiomatiske mængdelære , som eliminerede mængdelærens hovedparadokser , blev den mængdeteoretiske tilgang dominerende i undervisningen i matematik [4] , dog blev konstruktivismen som et selvstændigt område af matematikken bevaret og udviklet meningsfuldt. Synspunkter fra ultrafinitistiske matematikere kan betragtes som en fortsættelse og ekstrem form for konstruktivisme.

Argument

Ultrafinitisme benægter accepten af ​​endelige matematiske objekter, hvis konstruktionsalgoritme eksisterer, men som er så store, at denne algoritme ikke kan implementeres på grund af fysiske begrænsninger. Følgelig nægtes meningsfuldheden af ​​operationer med sådanne objekter også. Hvis Hilberts finitisme og konstruktivisme nægter abstraktionen af ​​den faktiske uendelighed, så nægter ultrafinitismen at betragte objekter, der er "stort set" uendelige. Især afvises eksistensen af ​​heltalsdelen af ​​det første Skewes-nummer :

med den begrundelse, at ingen har kunnet beregne dette naturlige tal, og det er usandsynligt, at dette principielt er muligt. Faktisk kræves der ca. decimaltal for at registrere Skewes-tallet, hvilket er væsentligt større end antallet af elementarpartikler i den observerbare del af universet, da der ikke er flere af dem [5] .

Denne argumentation appellerer dog til sund fornuft og er mere fysisk og filosofisk end matematisk. I denne forstand er diskussionen omkring akademiker-fysiker Zel'dovichs bog "Højere matematik for begyndere og dens anvendelser til fysik", som blev hårdt og retfærdigt kritiseret fra klassisk matematiks synspunkt af akademiker-matematiker Pontryagin . For eksempel afviser Zel'dovichs definition af derivatet som et forhold mellem "tilstrækkeligt små stigninger" ikke kun behovet for at passere til grænsen, men er slet ikke en matematisk definition. Den akademiske matematiker og delvis fysiker Arnold fandt et stærkt argument for forsvar [6] :

Bogen begyndte med en chokerende definition af derivatet som et forhold mellem stigninger "under den antagelse, at de er små nok" [7] . Denne definition "fysisk", blasfemisk set fra den ortodokse matematiks synspunkt, er naturligvis fuldstændig berettiget, fordi stigninger af en fysisk størrelse mindre end f.eks. 10-100 er ren fiktion - strukturen af ​​rum og tid på sådanne skalaer kan vise sig at være meget langt fra det matematiske kontinuum.

Arnolds argumentation har form af en antagelse, men den kan suppleres med den ubestridelige kendsgerning, at for eksempel differentialligningen for varmeledning på sådanne skalaer er meningsløs, eftersom temperaturen er resultatet af gennemsnittet af molekylers energier. Den klassiske definition af derivatet i dette tilfælde er uholdbar på grund af fraværet af en grænse. Men ligningen giver mulighed for højpræcisionsberegninger, da Zel'dovichs definition virker.

Betydelige fremskridt i opbygningen af ​​en fuldstændig "endelig" matematik blev opnået af skaberen af ​​alternativ mængdeteori [   Piotr Vopenka [8] [9] . Imidlertid er ultrafinitisme, i modsætning til konstruktivisme, ikke blevet en fuldgyldig tendens i matematik og forbliver hovedsageligt nogle matematikeres filosofi. Den konstruktivistiske logiker Anne Sherp Troelstra i sin grundlæggende anmeldelse "Constructivism in Mathematics (1988)" [10] bemærkede "manglen på tilfredsstillende udvikling" i den forstand, at der simpelthen ikke findes tilsvarende værker om matematisk logik .

Forskere forbundet med ultrafinitisme

Yesenin-Volpin offentliggjorde i 1962 et program til at konstruere grundlaget for ultrafinitistisk matematik [11] . Matematikere, der har udgivet artikler om emnet ultrafinitisme eller offentligt udtrykt nære synspunkter, omfatter også Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Parikh, og Jean-Paul van Bendegem Wopenka, Gandy . .

Nogle matematikere anser det ikke for vigtigt og nødvendigt at tale offentligt om spørgsmål i matematikkens filosofi, som ikke er grundlæggende for dem, men de kan have meget radikale synspunkter. For eksempel karakteriserede den sovjetiske akademiker Ya. V. Uspensky i et privat brev fra 1926 mængdeteorien som "Cantor-Lebesgue affald". [12]

Noter

  1. ↑ 1 2 International Workshop on Logic and Computational Complexity, Logic and Computational Complexity , Springer, 1995, s. 31.
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), " On the Untenability of Nelson's Predicativism  (utilgængeligt link) ", Erkenntnis 53 (1-2), pp. 147-154.
  3. ↑ Må ikke forveksles med Russells prædikativisme.
  4. ↑ Akademiker V. V. Arnold karakteriserer formel set-teoretisk undervisning som "maskuleret og død" 1 Arkiveret 3. november 2019 på Wayback Machine
  5. ↑ Universets mange ansigter Andrey Dmitrievich Linde, Stanford University (USA), professor . Hentet 12. maj 2015. Arkiveret fra originalen 10. maj 2015.
  6. ↑ V. I. Arnold. YaB og matematik . Hentet 8. juli 2019. Arkiveret fra originalen 3. november 2019.
  7. ↑ For at denne definition kan blive ultrafinitistisk-matematisk, er det stadig nødvendigt at afklare størrelsen af ​​inkrementerne.
  8. ↑ Vopěnka, P. Mathematics in the Alternative Set Theory. Teubner, Leipzig, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Alternative Axiomatic Set Theories Arkiveret 7. august 2019 på Wayback Machine i Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Konstruktivisme i matematik
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warszawa, 1959) , Oxford: Pergamon, s. 201–223  Anmeldt af Kreisel, G. & Ehrenfeucht, A. (1967), Anmeldelse af Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques af AS Ésénine-Volpine , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic). - T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Nye materialer til biografien om N. N. Luzin. // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka, 1989. - Nr. 31 . - S. 193 .

Links