Schwartz trekant

Schwartz-trekanten er en sfærisk trekant , der kan bruges til at tesselere en kugle , muligvis overlappende, ved at reflektere trekanten rundt om dens sider. Trekanter er klassificeret i et værk fra 1873 af den tyske matematiker Karl Schwartz [1] .

Schwartz trekanter kan defineres mere generelt som fliser på en kugle, euklidisk eller hyperbolsk plan. Hver Schwartz-trekant på kuglen definerer en endelig gruppe , mens de på det euklidiske plan definerer uendelige grupper.

Schwartz trekanten er repræsenteret af tre rationelle tal ( p q r ), som hver definerer en vinkel ved toppunktet. Værdien n/d betyder, at vinklen ved trekantens toppunkt er lig med d / n af den rette vinkel. 2 betyder retvinklet trekant. Hvis disse tal er heltal, kaldes trekanten en Möbius-trekant, og den svarer til en flisedeling uden overlapninger, og symmetrigruppen kaldes trekantgruppen . Der er 3 Möbius trekanter på kuglen og en mere én-parameter familie. Der er tre Möbius-trekanter på planet, og i det hyperbolske rum er der en familie af Möbius-trekanter med tre parametre og ingen exceptionelle objekter .

Løsningsrum

Et fundamentalt område i form af en trekant ( p q r ) kan eksistere i forskellige rum, afhængigt af summen af ​​de reciproke af disse heltal:

Kugle Euklidisk fly hyperbolsk plan

Enkelt sagt er summen af ​​vinklerne i en trekant i det euklidiske plan π, mens summen af ​​vinklerne på kuglen er større end π, og på det hyperbolske plan er summen mindre end π.

Grafisk repræsentation

Schwartz-trekanten er repræsenteret grafisk som en trekantet graf . Hvert toppunkt svarer til en side (spejl) af Schwartz-trekanten. Hver kant er mærket med en rationel værdi svarende til reflektionsrækkefølgen, som er lig med π/ udvendig vinkel .


Schwarz trekant ( p q r ) på kugle
Schwarz trekant graf

Kanter med orden 2 repræsenterer vinkelrette spejle, som kan udelades i dette diagram. Coxeter-Dynkin-diagrammet repræsenterer disse trekantede grafer uden kanter af orden 2.

Man kan bruge Coxeter-gruppen til enklere notation, som ( p q r ) for cykliske grafer, ( p q 2) = [ p , q ] for retvinklede trekanter) og ( p 2 2) = [ p ]×[].

Liste over Schwartz trekanter

Möbius trekanter på kuglen


(2 2 2) eller [2,2]
(3 2 2) eller [3,2] 		...

(3 3 2) eller [3,3]
(4 3 2) eller [4,3]
(5 3 2) eller [5,3]

Schwarz-trekanter med heltal, også kaldet Möbius-trekanter , inkluderer én-parameterfamilien og tre exceptionelle tilfælde:

  1. [ p ,2] eller ( p 2 2) - dihedral symmetri ,CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
  2. [3,3] eller (3 3 2) – Tetraedrisk symmetri ,CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
  3. [4,3] eller (4 3 2) – Oktaedrisk symmetri ,CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
  4. [5,3] eller (5 3 2) - Ikosaedrisk symmetri ,CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Schwartz trekanter på en kugle, grupperet efter tæthed

Schwartz trekanter ( p q r ), grupperet efter tæthed :

Massefylde Schwartz trekant
en (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n )
d ( 22n / d )
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
fire (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
otte (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
ti (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
elleve (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
fjorten (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16 (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
atten (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Trekanter i det euklidiske plan


(3 3 3)
(4 4 2)
(6 3 2)

Massefylde 1:

  1. (3 3 3) - 60-60-60 ( ligesidet )
  2. (4 4 2) - 45-45-90 (ligebenet rektangulær)
  3. (6 3 2) - 30-60-90
  4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "trekant"

Massefylde 2:

  1. (6 6 3/2) - 120-30-30 trekant

Massefylde ∞:

  1. (4 4/3∞)
  2. (3 3/2∞)
  3. (6 6/5∞)

Trekanter i det hyperbolske plan


(7 3 2)
(8 3 2)
(5 4 2)

(4 3 3)
(4 4 3)
(∞∞∞)
Grundlæggende områder af trekanter ( p q r )

Massefylde 1:

Massefylde 2:

Massefylde 3:

Massefylde 4:

Massefylde 6:

Massefylde 10:

Schwartz-trekanten (2 3 7) er den mindste hyperbolske Schwartz-trekant og er af særlig interesse. Dens trekantgruppe (eller mere præcist von Dyck-gruppen af ​​orienteringsbevarende isometrier med indeks 2) er trekantgruppen (2,3,7) , som er den universelle gruppe for alle Hurwitz-grupper — de maksimale isometrigrupper af Riemann-overflader . Alle Hurwitz-grupper er faktorgrupper i trekantgruppen (2,3,7), og alle Hurwitz-overflader er dækket af fliser af Schwartz-trekanter (2,3,7). Den mindste Hurwitz-gruppe er en simpel gruppe af orden 168, den næstmindste ikke-abelske simple gruppe , som er isomorf til PSL(2,7) og forbundet med en Hurwitz-overflade af slægt 3, er Klein-kvartikken .

Trekanten (2 3 8) tesselerer Boltz-overfladen , en meget symmetrisk (men ikke en Hurwitz) overflade af slægt 2.

Trekanterne med én ikke-heltalsvinkel anført ovenfor blev først klassificeret af Anthony W. Knapp i et  papir fra 1968 [2] . En liste over trekanter med flere ikke-heltalsvinkler er givet i et papir fra 1998 af Klimenko og Sakum [3] .

Se også

Noter

  1. ↑ Schwarz, 1873 .
  2. ↑ Knapp, 1968 , s. 289-304.
  3. ↑ Klimenko, Sakuma, 1998 , s. 247-282.

Litteratur

Links