Pascals trekant

Pascals trekant ( aritmetisk trekant ) er en uendelig tabel med binomiale koefficienter , der har en trekantet form. I denne trekant er der enheder i toppen og på siderne . Hvert tal er lig med summen af de to tal over det. Trekantens linjer er symmetriske om den lodrette akse. Opkaldt efter Blaise Pascal . De tal, der udgør Pascals trekant, forekommer naturligt i algebra , kombinatorik , sandsynlighedsteori , calculus , talteori [1] .

Historie

Den første omtale af en trekantet sekvens af binomiale koefficienter kaldet meru-prastaara forekommer i en kommentar af den indiske matematiker Halayudha fra det 10. århundrede til en anden matematikers skrifter, Pingala . Trekanten er også udforsket af Omar Khayyam omkring 1100, så i Iran kaldes denne ordning for Khayyam trekanten. I 1303 udkom bogen "Jasper Mirror of the Four Elements" af den kinesiske matematiker Zhu Shijie , hvor Pascals trekant var afbildet i en af illustrationerne; det menes at være opfundet af en anden kinesisk matematiker, Yang Hui (hvilket er grunden til, at kineserne kalder det Yang Huis trekant).

I Italien kaldes Pascals trekant undertiden "Tartaglias trekant", fordi Niccolò Tartaglia beskrev denne tabel hundrede år før Pascal. Titelbladet på en aritmetisk lærebog skrevet i 1529 af Peter Apian , en astronom ved universitetet i Ingolstadt, viser også Pascals trekant. Og i 1665 [2] udkom Blaise Pascals bog "A Treatise on the Arithmetic Triangle" [3] , som var specielt viet til denne tabel og var forud for sine forgængere indholdsmæssigt.

Notation og egenskaber

Binomiale koefficienter er ofte betegnet eller og læst som "antallet af kombinationer af n elementer med k " [1] . $\binom{n}{k}$ $C_{n}^{k}$

Trekanttallene er symmetriske (lige) om den lodrette akse.
I linje nummer n (nummereringen starter fra 0):
- det første og sidste tal er 1;
- det andet og næstsidste tal er n ;
- det tredje tal er lig med det trekantede tal , som også er lig med summen af tallene på de foregående linjer; $T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))$
- det fjerde tal er tetraedrisk ;
- m -te tal (med nummerering fra 0) er lig med den binomiale koefficient . $C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}$
Summen af tallene for den stigende diagonal startende fra det første element i ( n −1) rækken er det n'te Fibonacci - tal : ${\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.$
Hvis du trækker fra det centrale tal i en række med et lige tal det tilstødende tal fra samme række, får du det catalanske tal .
Summen af tallene i den n . række i Pascals trekant er . $2^{n}$
Alle tal i den n'te linje, undtagen enere, er delelige med tallet n , hvis og kun hvis n er et primtal [4] (en konsekvens af Lucas ' sætning ).
Hvis vi i en række med et ulige tal sammenlægger alle tal med serienumre af formen 3 n , 3 n + 1, 3 n + 2, så vil de første to summer være lige store, og den tredje vil være mindre med 1 .
Hvert tal i trekanten er lig med antallet af måder at komme til det fra toppen ved at bevæge sig enten til højre ned eller til venstre ned.

Citater

Pascals trekant er så enkel, at selv et ti-årigt barn kan skrive den ud. Samtidig skjuler den uudtømmelige skatte og binder forskellige aspekter af matematikken sammen, som ved første øjekast intet har tilfælles med hinanden. Sådanne usædvanlige egenskaber giver os mulighed for at betragte Pascals trekant som et af de mest elegante skemaer i hele matematikken.Martin Gardner [5]

Se også

Noter

↑ 1 2 Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ O. V. Kuzmin. Pascals trekant og pyramide: egenskaber og generaliseringer // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr. 5 . - S. 101-109 . Arkiveret fra originalen den 29. oktober 2013.
↑ Den fantastiske franskmands fantastiske trekant // Hard'n'Soft . - 2003. - Nr. 10 . Arkiveret fra originalen den 21. april 2010.
↑ Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Martin Gardner . Kapitel 17. Pascals trekants uudtømmelige charme . — M .: Mir, 1974. — 456 s.

Litteratur

Pascals trekant // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 230 -232. — 352 s.
Fuks D., Fuks M. Aritmetik af binomiale koefficienter // Kvant . - 1970. - Nr. 6 . - S. 17-25 .
Uspensky V. A. Pascals trekant . — M .: Nauka, 1979. — 48 s. - ( Populære foredrag om matematik ). - 200.000 eksemplarer.

Links

Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Konstruktion af Pascals trekant

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk stor kinesisk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph348268