Point Farm

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Fermat - punktet er et punkt i planet, hvor summen af afstandene til trekantens spidser er minimal. Fermats spids kaldes også nogle gange Torricellis spids eller Fermat-Torricellis spids . Fermat-spidsen giver en løsning på Steiners problem for trekantede hjørner. I engelsk litteratur kaldes Fermats pointe også for det isogoniske center X(13).

Historie

Fermats pointe blev først foreslået af Fermat : "Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas". P. de Fermat, "Œuvres de Fermat", 1679, Livre I, Paris. (lat. "For tre givne punkter, find det fjerde, sådan at hvis du tegner lige linjer fra det til disse punkter, summen af afstandene vil være den mindste." P. Fermat).

Egenskaber

Lesters sætning . I en hvilken som helst skalatrekant ligger to af Fermats punkter, midten af de ni punkter og midten af den omskrevne cirkel på den samme cirkel ( cirklen af Leicester ).

Bygning

Sætning ( E. Torricelli , B. Cavalieri , T. Simpson , F. Heinen, J. Bertrand ). Konstruer på siderne af en vilkårlig trekant til ydersiden ligesidede trekanter , , . Derefter seks kurver - tre cirkler afgrænset omkring disse regulære trekanter, og linjer , , skærer hinanden i et punkt . Hvis alle vinkler i trekanten ikke overstiger , så ligger i trekanten og er et Fermat punkt . I dette tilfælde er vinklerne mellem segmenterne , og lig med hinanden og er derfor ens . Desuden er længderne af segmenterne , og , kaldet Simpson- linjer , også lig med hinanden og er lig med . Hvis en af trekantens vinkler er større end , så ligger den uden for trekanten , og Fermat-punktet falder sammen med toppunktet på den stumpe vinkel . $ABC$ $ABC'$ $BCA'$ $CAB'$ $AA'$ $BB'$ $CC'$ $x$ $ABC$ $120^{\cirkel }$ $x$ $ABC$ $S$ $AS$ $BS$ $CS$ $120^{\cirkel }$ $AA'$ $BB'$ $CC'$ $AS+BS+CS$ $ABC$ $120^{\cirkel }$ $x$ $ABC$ $S$

Sætningen giver en algoritme til at konstruere Fermat-punktet ved hjælp af et kompas og en lineal. I det ikke-trivielle tilfælde, når alle vinkler i trekanten er mindre end , findes Fermat-punktet som skæringspunktet mellem to af de seks kurver, der er beskrevet i sætningen. $120^{\cirkel }$

Fysisk kan dette punkt konstrueres som følger: vi markerer på en flad glat vandret overflade punkterne , og og borer gennem huller på de markerede steder; vi vil binde tre tråde og føre deres frie ender ovenfra gennem hullerne; binde belastninger af samme masse til de frie ender; når systemet kommer i ligevægt, vil knudepunktet være ved Fermat-punktet for trekanten . $EN$ $B$ $C$ $ABC$

Bemærk

I den første figur til højre er centrene i de tre ligesidede trekanter i øvrigt selv hjørnerne af en ny ligesidet trekant ( Napoleons sætning ). Derudover . $AA'=BB'=CC'$

At finde Fermat-punktet. Lagrange multiplikatorer

Der er en tilgang til at finde et punkt inde i en trekant, hvor summen af afstande til trekantens toppunkter er minimal, er at bruge en af optimeringsmetoderne i matematik. Især metoden med Lagrange-multiplikatorer og cosinussætningen.

Vi tegner linjer fra et punkt inde i trekanten til dens hjørner og kalder dem X , Y og Z . Lad også længderne af disse linjer være henholdsvis x, y og z. Lad vinklen mellem X og Y være α, Y og Z - β. Så er vinklen mellem X og Z (2π - α - β). Ved at bruge Lagrange-multiplikatormetoden skal vi finde minimum af Lagrangian L , som er udtrykt som:

L = x + y + z + λ 1 ( x 2 + y 2 − 2 xy cos( α ) − a 2 ) + λ 2 ( y 2 + z 2 − 2 yz cos(β) − b 2 ) + λ 3 ( z 2 + x 2 − 2 zx cos( α + β ) − c 2 )

hvor a , b og c er længderne af trekantens sider.

Ved at sætte lighedstegn mellem hver af de fem partielle derivater δ L / δx, δ L / δy, δ L / δz, δ L / δα, δ L / δβ til nul og ekskluderer λ 1 , λ 2 , λ 3 , får vi endelig sin (α ) = sin(β) og sin(α + β) = - sin(β) så α = β = 120°. Beregningerne er dog lange og kedelige, og slutresultatet dækker kun Case 2, når ingen af vinklerne er ≥ 120°.

Point Torricelli

Torricelli- punktet er punktet i en trekant , hvorfra alle sider er synlige i en vinkel på . Det eksisterer kun i trekanter med vinkler mindre end , mens det er unikt og derfor falder sammen med Fermat-punktet. $120^{\cirkel }$ $120^{\cirkel }$

Se også

Noter

Litteratur

Encyklopædi for børn / Kapitel. udg. M. D. Aksyonova. - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematik. — 688 s.
A. O. Ivanov, A. A. Tuzhilin. Teori om ekstreme netværk. - Moskva-Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2003. - ISBN 5-93972-292-X .