Capelli identitet

Capelli-identiteten er en analog af matrixrelationen for differentielle operatorer med ikke-pendlende elementer forbundet med Lie - algebra-repræsentationen . Bruges til at korrelere invarianten med invarianten , hvor er Cayley-processen . Opkaldt efter Alfredo Capelli , som etablerede dette resultat i 1887 . $\mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}(A) \, \mathrm{det}(B)$ $\mathfrak{gl}_n$ $\mathsf f$ $\Omega \mathsf f$ $\Omega$

Ordlyd

Lad os være pendlingsvariabler og vær polarisationsoperatoren: $x_{ij}$ $i, j = 1, \dots , n$ $E$

E_{ij} = \sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja))

Capelli-identiteten siger, at følgende differentielle operatorer, udtrykt som determinanter, er ens:

\begin{vmatrix} E_{11}+n-1 & \cdots &E_{1,n-1}& E_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots&\vdots\\ E_{n-1,1} & \cdots & E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n} \\ E_{n1} & \cdots & E_{n,n-1}& E_{nn} +0\end {vmatrix} = \begin{vmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{vmatrix} \ start{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11)) & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n)) \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{ \partial}{\partial x_{n1}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{nn}} \end{vmatrix}.

Begge sider af denne lighed er differentielle operatører. Determinanten på venstre side har ikke-pendlende elementer, og når den udvides, bevarer den rækkefølgen af sine faktorer fra venstre mod højre. En sådan determinant kaldes ofte en kolonnedeterminant.[ ukendt udtryk ] , da det kan opnås ved at udvide determinanten i kolonner, startende fra den første kolonne. Dette kan formelt skrives som

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) A_{\sigma(1),1}A_{\sigma(2),2}\cdots A_{\sigma(n) ,n},

hvor i produktet elementerne fra den første kolonne kommer først, derefter fra den anden, og så videre. Determinanten i den anden faktor på højre side af ligheden er Omega Cayley-processen , og i den første faktor er Capelli-determinanten .

Operatører E ij kan skrives i matrixform:

E = XD^t,

hvor er matricer med henholdsvis elementerne E ij , x ij . Hvis alle elementer i disse matricer pendler, så selvfølgelig . Capelli-identiteten viser, at på trods af ikke-omskifteligheden, kan formlen ovenfor gives en betydning. Prisen for ikke-switching er en lille korrektion: på venstre side af ligheden. I det generelle tilfælde, for ikke-pendlende matricer, formler som f.eks $E, X, D$ $\frac{\partial}{\partial x_{ij))$ $\det(E) = \det(X) \det(D^t)$ $(ni)\delta_{ij}$

\det(AB)=\det(A)\det(B)

eksisterer ikke, og selve begrebet en determinant har ingen betydning. Derfor er Capelli-identiteten stadig noget mystisk på trods af dens talrige beviser. Der er tilsyneladende ikke meget korte beviser. En direkte identitetskontrol kan udføres som en forholdsvis nem øvelse for n = 2, men allerede for n = 3 ville en direkte kontrol være for lang.

Repræsentationsteori forbindelse

I betragtning af den generelle situation antager vi, at begge er to heltal og for er pendlingsvariable. Omdefiner næsten det samme som før: $n$ $m$ $x_{ij}$ $i = 1, \dots, n, \j = 1, \dots, m$ $E_{ij}$

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja))

med den eneste forskel, at summeringsindekset går fra til . Det er let at se, at sådanne kommutatorer af disse operatører opfylder følgende relationer: $-en$ $en$ $m$

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}

Her betyder switch . Det er de samme relationer, der gælder for matricer , hvor der er nuller overalt, undtagen positionen, hvor 1 er placeret. (Sådanne matricer kaldes nogle gange matrixenheder ). Derfor konkluderer vi, at kortlægningen bestemmer repræsentationen af Lie-algebraen i vektorrummet for polynomier i . $[a,b]$ $ab-ba$ $e_{ij}$ $(i,j)$ $e_{ij}$ $\pi : e_{ij} \mapsto E_{ij}$ $\mathfrak{gl}_n$ $x_{ij}$

Tilfældet m = 1 og repræsentationen S k C n

Når vi betragter det særlige tilfælde m = 1, har vi x i1 , som vi vil forkorte som x i :

E_{ij} = x_i \frac{\partial}{\partial x_j}.

Især for polynomier af første grad kan det ses, at:

E_{ij} x_k = \delta_{jk} x_i

Derfor er handlingen begrænset til rummet af polynomier af første grad på nøjagtig samme måde som virkningen af matrixenheder på vektorer i . Ud fra repræsentationsteoriens synspunkt er underrummet af polynomier af første grad således en underrepræsentation af Lie-algebraen , som vi identificerer med standardrepræsentationen i . Det ses endvidere, at differentialoperatorerne bevarer graden af polynomier, og derfor danner polynomier af hver fast grad en underrepræsentation af Lie-algebraen . Det ses også, at rummet af homogene polynomier af grad k kan defineres ved den symmetriske gradtensor af standardrepræsentationen . $E_{ij}$ $e_{ij}$ $\mathbb{C}^{n}$ $\mathfrak{gl}_n$ $\mathbb{C}^{n}$ $E_{ij}$ $\mathfrak{gl}_n$ $S^k \mathbb{C}^n$ ${\mathbb C}^{n}$

Strukturen af den maksimale vægt af disse repræsentationer kan også defineres . Monomialet er den maksimale vægtvektor . For i < j . _ Dens maksimale vægt er ( k , 0, … ,0) fordi . $x^k_1$ $E_{ij}x^k_1=0$ $E_{ii} x^k_1= k \delta_{i1}x^k_1$

Denne repræsentation kaldes undertiden den bosoniske repræsentation . Lignende formler definerer den såkaldte fermioniske repræsentation, hvor er antikommutative variabler. Igen danner polynomier af grad k en irreducerbar underrepræsentation isomorf til , det vil sige en antisymmetrisk tensor af grad . Den maksimale vægt af en sådan repræsentation er (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Disse repræsentationer for k = 1, …, n er fundamentale repræsentationer . $\mathfrak{gl}_n$ $E_{ij} = \psi_{i}\frac{\partial}{\partial \psi_{j))$ $\psi_{i}$ $\Lambda^k \mathbb{C}^{n}$ $\mathbb{C}^{n}$ $\mathfrak{gl}_n$

Capellis identitet for m = 1

Lad os vende tilbage til Capelli-identiteten. Man kan bevise følgende:

\det(E+(ni)\delta_{ij}) = 0, \qquad n>1

Hovedmotivationen for denne lighed er som følger: Overvej nogle pendlingsvariabler . Matrixen har rang 1, og derfor er dens determinant nul. Elementerne i matrixen er defineret af lignende formler, men dens elementer pendler ikke. Capellis identitet viser, at den kommutative identitet kan bevares ved at korrigere matrixen . $E^c_{ij} = x_i p_j$ $x_i, p_j$ $E^{c}$ $E$ $\det(E^{c})=0$ $(ni)\delta_{ij}$ $E$

Bemærk også, at en lignende identitet for det karakteristiske polynomium:

\det(t+E+(ni)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},

hvor . Dette er den ikke-kommutative analog af den simple kendsgerning, at det karakteristiske polynomium af en rang-1 matrix kun indeholder den første og anden koefficient. $t^{[k]}=t(t+1) \cdots (t+k-1)$

Overvej et eksempel for n = 2.

\begin{align} & \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} t+ x_1 \partial_1 +1 & x_1 \partial_2 \\ x_2 \partial_1 & t+ x_2 \partial_2 \end{vmatrix} \\[8pt] & = (t+ x_1 \partial_1+1 ) (t+ x_2 \partial_2)- x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \ \[6pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) +x_1 \partial_1 x_2 \partial_2+x_2 \partial_2 - x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \end{align}

Ved brug af

\partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_ {1}x_{2}=x_{2}x_{1}

vi ser, at dette er lig med:

\begin{align} & {} \quad t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) +x_2 x_1 \partial_1 \partial_2+x_2 \partial_2 - x_2 x_1 \partial_1 \partial_2 - x_2 \partial_2 \ \[8pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2)=t^{[2]}+ t\,\mathrm{Tr}(E). \end{align}

Universal omsluttende algebra og dens centrum $U(\mathfrak{gl}_n)$

En interessant egenskab ved Capelli-determinanten er, at den pendler med alle operatorer E ij , det vil sige, at kommutatorerne er nul. $[E_{ij},\det(E+(ni)\delta _{ij})]$

Dette udsagn kan generaliseres som følger. Overvej alle elementer E ij i enhver ring, der opfylder kommutatorrelationen , (de kan f.eks. være differentialoperatorer, som ovenfor, matrixenheder e ij eller andre elementer). Vi definerer elementerne i C k som følger: $[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}$

\det(t+E+(ni)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]} C_{k},

hvor $t^{[k]}=t(t+1)\cdots(t+k-1),$

derefter:

elementer C k pendler med alle elementer E ij
elementer i C k kan repræsenteres af formler svarende til det kommutative kasus:

C_k=\sum_{I=(i_1<i_2<\cdots<i_k)} \det(E+(ki)\delta_{ij})_{II},

det vil sige, at de er summen af de vigtigste mindreårige i matricen E , modulo Capelli-korrektionerne . Især er elementet C0 Capelli -determinanten diskuteret ovenfor. $+(ki)\delta_{ij}$

Disse udsagn er relateret til Capelli-identiteten, som det vil blive vist nedenfor, og der er tilsyneladende heller ikke noget direkte kort bevis for dem, på trods af formuleringernes enkelhed.

Den universelle omsluttende algebra kan defineres som algebraen genereret af E ij kun relateret af relationerne $U(\mathfrak{gl}_n)$

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}

Udsagnet ovenfor viser, at grundstofferne C k hører til midten . Desuden kan det bevises, at de er gratis generatorer af centret . De kaldes undertiden Capelli-generatorer . Capelli-identiteterne for dem vil blive overvejet nedenfor. $U(\mathfrak{gl}_n)$ $U(\mathfrak{gl}_n)$

Overvej et eksempel med n = 2.

\begin{align} {}\quad \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} & = (t+ E_{11 }+1)(t+ E_{22})-E_{21}E_{12} \\ & = t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{ 22}-E_{21}E_{12}+E_{22}. \end{align}

Det er direkte verificeret, at elementet pendler med . (Dette svarer til det åbenlyse faktum, at identitetsmatrixen pendler med alle andre matricer). Mere lærerigt er det at kontrollere kommutativiteten af det andet element med . Lad os køre det for : $(E_{11}+E_{22})$ $E_{ij}$ $E_{ij}$ $E_{12}$

[E_{12}, E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]

=[E_{12}, E_{11}] E_{22} + E_{11} [E_{12}, E_{22}] - [E_{12}, E_{21}] E_{12} - E_ {21}[E_{12},E_{12}] +[E_{12},E_{22}]

=-E_{12} E_{22} + E_{11} E_{12} - (E_{11}- E_{22}) E_{12} - 0 +E_{12}

=-E_{12} E_{22} + E_{22} E_{12} +E_{12}= -E_{12} + E_{12}=0.

Vi ser, at den naive determinant ikke pendler med og Capelli-korrektionen er essentiel for at tilhøre centrum. $E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$ $E_{12}$ $+E_{22}$

Vilkårlige m og dobbelte par

Lad os gå tilbage til den generelle sag:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja)),

for vilkårlige n og m . Definitionen af operatorer E ij kan skrives på matrixform: , hvor er en matrix med elementer ; er en matrix med elementer ; er en matrix med elementer . $E = XD^t$ $E$ $n\ gange n$ $E_{ij}$ $x$ $n \ gange m$ $x_{ij}$ $D$ $n \ gange m$ $\frac{\partial}{\partial x_{ij))$

Capelli-Cauchy-Binet-identiteter

For vilkårlig m er matricen E produktet af to rektangulære matricer: X og transponeret til D . Hvis alle elementerne i disse matricer pendler, så kan determinanten af matricen E udtrykkes med den såkaldte Binet-Cauchy-formel ] i form af minorerne X og D. En lignende formel findes for matrix E igen for et lille korrektionsgebyr : $E \højrepil (E+(ni)\delta_{ij})$

\det(E+(ni)\delta_{ij}) = \sum_{I=(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n \le m)} \det(X_{I}) \det(D^t_ {JEG})

Især (svarende til det kommutative kasus): hvis m<n , så ; i tilfældet m=n vender vi tilbage til identiteten ovenfor. $\det(E+(ni)\delta_{ij}) =0$

Bemærk, at man ligesom det kommutative tilfælde ikke kun kan udtrykke determinanten h E , men også dens mindreårige i form af mindreårige X og D :

\det(E+(si)\delta_{ij})_{KL} = \sum_{I=(1\le i_1<i_2< \cdots <i_s \le m)} \det(X_{KI}) \det (D^t_{IL})

Her er K = ( k 1 < k 2 < … < k s ), L = ( l 1 < l 2 < … < l s ) vilkårlige multi-indekser; betegner som sædvanlig submatrixen M dannet af elementerne i M k a l b . Bemærk, at Capelli-korrektionen nu indeholder s i stedet for n som i den foregående formel. Bemærk, at for s=1 forsvinder korrektionen ( s − i ) og vi får simpelthen definitionen af E som produktet af X og transponeringen af D. Bemærk også, at for vilkårlig K, L pendler de tilsvarende mindreårige ikke med alle elementer i E ij , så Capelli-identiteten eksisterer ikke kun for de centrale elementer. $M_{KL}$

Som en konsekvens af denne formel og formlen for det karakteristiske polynomium fra forrige afsnit, nævner vi følgende:

\det(t+E+(ni)\delta_{ij}) = t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} \sum_{I, J} \det(X_{IJ}) \det(D^t_{JI}),

hvor . Denne formel ligner det kommutative kasus, bortset fra korrektionen på venstre side og erstatningen af t n med t [n] til højre. $I=(1\le i_1<\cdots <i_k \le n),$ $J=(1\le j_1< \cdots <j_k \le n)$ $+(ni)\delta_{ij}$

Relation med dobbeltpar

Moderne interesse for disse grupper opstod takket være Roger Howe , som betragtede dem i sin teori om dobbeltpar . I tilfælde af det første bekendtskab med disse ideer, har vi at gøre med operatører . Sådanne operatorer bevarer graden af polynomier. Overvej polynomier af første grad: , vi ser, at indekset l er bevaret. Fra et repræsentationsteorisynspunkt kan polynomier af første grad identificeres med direkte addition af repræsentationer , her er det l -te underrum ( l=1…m ) spændt over , i = 1, …, n . Lad os se igen på vektorrummet: $E_{ij}$ $E_{ij} x_{kl} = x_{il} \delta_{jk}$ $\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n$ $x_{il}$

\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m .

Dette synspunkt giver den første antydning af symmetri mellem m og n . For at tage et dybere kig på denne idé, overvej:

E_{ij}^\text{dual} = \sum_{a=1}^n x_{ai}\frac{\partial}{\partial x_{aj}}.

Disse operatorer er givet af de samme formler som med undtagelse af omnummerering , derfor kan vi med de samme argumenter konkludere, der definerer repræsentationen af Lie-algebraen i vektorrummet for polynomier x ij . Inden vi går videre, lad os være opmærksomme på følgende egenskab: differentialoperatorer pendler med differentialoperatorer . $E_{ij}$ $i venstre højre pil j$ $E_{ij}^\text{dual}$ $\mathfrak{gl}_m$ $E_{ij}^\text{dual}$ $E_{kl}$

Lie-gruppen virker på et vektorrum på en naturlig måde. Det kan vises, at den tilsvarende handling af Lie-algebraen er givet af differentialoperatorerne og hhv. Dette forklarer kommutativiteten af disse operatører. $GL_n\ gange GL_m$ $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m$ $\mathfrak{gl}_n \times \mathfrak{gl}_m$ $E_{ij}$ $E_{ij}^\text{dual}$

Desuden er følgende egenskaber sande:

Differentialoperatorer, der pendler med , er alle polynomier i og kun de. $E_{ij}$ $E_{ij}^\text{dual}$
Dekomponeringen af et vektorrum af polynomier til en direkte sum af tensorprodukter af irreducerbare repræsentationer og kan gives som følger: $GL_n$ $GL_m$

\mathbb{C} [x_{ij}] = S(\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m) = \sum_D \rho_n^D \otimes\rho_m^{D'}.

Her er termerne indekseret af Young-diagrammet D , og repræsentationerne er gensidigt ikke-isomorfe. Diagrammet definerer og omvendt. $\rho^D$ ${D}$ ${D'}$

Især en repræsentation af en stor gruppe, således at hver irreducerbar repræsentation kun optræder én gang. $GL_n\ gange GL_m$

Det er let at se en stærk lighed med Schur-Weil-dualiteten

Generaliseringer

En række fysikere og matematikere viede deres værker til generaliseringen af Capelli-identiteten, blandt dem: R. Howe, B. Constant [1] [2] , Fields-medaljevinder A. Okounkov [3] [4] , A. Sokal , [5] D. Zeilberger. [6]

Formentlig blev de første generaliseringer opnået af Herbert Westren Tarnbull allerede i 1948, [7] som fandt en generalisering for tilfældet med symmetriske matricer (se moderne gennemgang i [5] [6] ).

De resterende generaliseringer kan opdeles i flere grupper. De fleste af dem er baseret på Lie algebra synspunkt. Sådanne generaliseringer består i at erstatte Lie-algebraen med en semisimpel Lie-gruppe [8] og deres superalgebra [9] [10] kvantegruppen , [11] [12] og efterfølgende udvikling af en sådan tilgang [13] . Identiteten kan også generaliseres til andre dobbeltpar. [14] [15] Endelig kan vi overveje ikke kun determinanten af matricen E, men også dens permanente [16] , sporet af dens kræfter og immananten . [3] [4] [17] [18] Lad os nævne nogle flere værker $\mathfrak{gl}_n$ [ præciser ] : [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] . Man troede i lang tid, at identiteten er dybt relateret til den semisimple Lie-gruppe. En ny rent algebraisk generalisering af identiteten, som blev fundet i 2008 [5] af S. Caraciollo, A. Sportiello, A. Sokal, har dog intet at gøre med Lie-algebra.

Turnbulls identitet for symmetriske matricer

Overvej symmetriske matricer

X=\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ x_{12} & x_{22} & x_{23} &\cdots & x_ {2n} \\ x_{13} & x_{23} & x_{33} &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ x_{1n} & x_ {2n} & x_{3n} &\cdots & x_{nn} \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 2 \frac{\partial} { \partial x_{11} } & \frac{\partial } {\partial x_{12}} & \frac{\partial} { \partial x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt] \frac{ \partial} {\partial x_{12} } & 2 \frac{\partial} {\partial x_{22)) & \frac{\partial} { \partial x_{23)) &\cdots & \frac{\ partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt] \frac{\partial} {\partial x_{13} } & \frac{\partial} {\partial x_{23)) & 2\frac{\ partial} { \partial x_{33}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \frac {\partial} {\partial x_{1n} } & \frac{\partial} {\partial x_{2n)) & \frac{\partial} { \partial x_{3n)) &\cdots & 2 \frac{ \partial}{\partial x_{nn} } \end{vmatrix}

Herbert Turnbull [7] opdagede følgende ligning i 1948 :

\det(XD+(ni)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)

Et kombinatorisk bevis kan findes i [6] for et andet bevis og interessant[ præciser ] generaliseringer i [5] se også diskussionen nedenfor.

Howe-Umeda-Constant-Sahi-identitet for antisymmetriske matricer

Overvej antisymmetriske matricer

X=\begin{vmatrix} 0 & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ -x_{12} & 0 & x_{23} &\cdots & x_{2n} \\ -x_{13} & -x_{23} & 0 &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ -x_{1n} & -x_{2n} & -x_{3n} &\cdots & 0 \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 0 & \frac{\partial} {\partial x_{12)) & \frac{\partial} {\partial x_ {13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt] -\frac{\partial} { \partial x_{12} } & 0 & \frac{\partial } { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt] -\frac{\partial} {\partial x_{13} } & -\ frac{\partial} {\partial x_{23)) & 0 &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \ vdots \\[6pt] -\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & -\frac{\partial} {\partial x_{2n)) & -\frac{\partial} {\partial x_{ 3n}} &\cdots & 0 \end{vmatrix}.

Derefter

\det(XD+(ni)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).

Caraciollo-Sportiello-Sokal-identiteten for Manin-matricerne

Overvej to matricer M og Y over en associativ ring, der opfylder betingelsen

[M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}

for nogle elementer af Q il . Med andre ord pendler elementerne i den j -te kolonne M med elementerne i den k - te række Y, når , og i det tilfælde, hvor , kommutatoren af elementerne M ik og Y kl afhænger kun af i , l , men ikke på k . $j\neq k$ $j=k$

Antag, at M er en Manin-matrix (det enkleste eksempel er en matrix med pendlingselementer).

Så for en kvadratisk matrix

\det(MY+ Q \,\mathrm{diag}(n-1, n-2, \dots, 1,0) ) = \det(M) \det(Y)

Her er Q en matrix med indgange Q il , og diag( n − 1, n − 2, …, 1, 0) betyder en diagonal matrix med indgange n − 1, n − 2, …, 1, 0 på diagonalen.

Se [5] Proposition 1.2' formel (1.15) s. 4, vores Y er en transposition til deres B .

Det er klart, at Cappellis oprindelige identitet er et særligt tilfælde af denne identitet. Derudover viser denne identitet, at man i den oprindelige Kappeli-identitet kan overveje elementerne

\frac{\partial} {\partial x_{ij} } + f_{ij}(x_{11},\dots,x_{kl},\dots)

for vilkårlige funktioner f ij og identiteten fortsætter med at være sand.

Mukhin-Tarasov-Varchenko-identiteten og Gaudin-modellen

Ordlyd

Betragt matricerne X og D som i Capelli-identiteten, det vil sige med elementer og i position ( ij ). $x_{ij}$ $\partial_{ij}$

Lad z være en anden formel variabel (pendling med x ). Lad A og B være nogle matricer, hvis elementer er komplekse tal.

\det\left( \frac{\partial}{\partial_z} - A - X \frac{1}{zB} D^t \right)

={\det}^\text{beregn som om alle pendler}_{\text{Sæt alle }x\text{ og }z\text{ til venstre, mens alle afledninger er til højre}}

\left( \frac{\partial}{\partial_z} - A - X \frac{1}{zB} D^t \right)

Her skal den første determinant som altid forstås som en determinant over kolonnerne i en matrix med ikke-kommutative indgange. Den anden determinant skal beregnes ved at placere (som om alle elementer er kommutative) alle x og z til venstre og alle afledninger til højre (en sådan opskrift kaldes normalordenen i kvantemekanik ).

Kvanteintegrerbare Gaudin-system og Talalaevs sætning

Matrix

L(z) = A + X \frac{1}{zB} D^t

er Lax-matricen for en kvanteintegrerbar systemspinkæde[ udtryk ukendt ] Gaudin. D. Talalaev løste det gamle problem med eksplicit løsning for det komplette sæt af bevarelseslove for kvantekommutering i Gaudin-modellen ved at opdage følgende sætning.

Lad os sætte

\det\left(\frac{\partial}{\partial_z} - L(z) \right) =\sum_{i=0}^n H_i(z) \left(\frac{\partial}{\partial_z} \right)^i.

Så for alle i, j, z, w

[H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,

dvs. H i ( z ) genererer funktioner af z for differentialoperatorer af x , som alle pendler. Så de giver bevarelseslovene for kvantekommutering i Gaudin-modellen.

Permanenter, immananter, matrixspor - "højere Capelli-identiteter"

Den oprindelige Capelli-identitet er et udsagn om determinanter. Senere blev lignende identiteter fundet for permanenter, immanenter og spor af en matrix. Baseret på den kombinatoriske tilgang var artiklen af S. G. Williamson [26] et af de første resultater i denne retning.

Turnbulls identitet for permanenter af antisymmetriske matricer

Overvej antisymmetriske matricer X og D med elementer x ij og tilsvarende afledte, som i Hove-Umeda-Constant-Sahi-tilfældet ovenfor .

Derefter

\mathrm{perm}(X^tD -(ni)\delta_{ij}) = \mathrm{perm}^\text{beregn som om alle pendler}_{\text{Sæt alle }x\text{ til venstre , mens alle afledninger er til højre}} ( X^t D).

For at citere: [6] "... siger uden bevis i slutningen af Turnbulls papir." Forfatterne følger selv Turnbull - til allersidst i deres arbejde skriver de:

"Da beviset for denne sidste identitet er meget lig det for Turnbulls symmetriske analog (med en lille afvigelse), efterlader vi det som en lærerig og fornøjelig øvelse for læseren."

Denne lighed er analyseret i [27] .

Noter

↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1991), The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transformation , Advances in Math. T. 87: 71-92 , DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C
↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1993), Jordan algebras and Capelli identities , Inventiones Mathematicae T. 112 (1): 71–92 , DOI 10.1007/BF01232451
↑ 1 2 Okounkov, A. (1996), Quantum Immanants and Higher Capelli Identities
↑ 1 2 Okounkov, A. (1996), Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities
↑ 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), Ikke-kommutative determinanter, Cauchy-Binet-formler og Capelli-type identiteter. I. Generaliseringer af Capelli- og Turnbull-identiteterne
↑ 1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), Combinatorial Proofs of Capelli's and Turnbull's Identities from Classical Invariant Theory
↑ 1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators , Proc. Edinburgh matematik. soc. V. 8 (2): 76–86 , DOI 10.1017/S0013091500024822
↑ Molev, A. & Nazarov, M. (1997), Capelli Identities for Classical Lie Algebras
↑ Molev, A. (1996), Faktorielle supersymmetriske Schur-funktioner og super Capelli-identiteter
↑ Nazarov, M. (1996), Capelli-identiteter for Lie superalgebraer
↑ Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1994), En kvanteanalog af Capelli-identiteten og en elementær differentialregning på GLq(n) , Duke Mathematical Journal bind 76 (2): 567–594, doi : 10.1215/S0012 -7094-94-07620-5 , < http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286975 > Arkiveret 1. marts 2014 på Wayback Machine
↑ Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1996), Dual pairs, spherical harmonics and a Capelli identity in quantum group theory , Compositio Mathematica T. 104 (2): 227–277 , < http://www.numdam.org /item?id=CM_1996__104_3_227_0 > Arkiveret 27. februar 2014 på Wayback Machine
↑ Mukhin, E.; Tarasov, V. & Varchenko, A. (2006), En generalisering af Capelli-identiteten
↑ Itoh, M. (2004), Capelli identities for reductive dual pairs , Advances in Mathematics bind 194 (2): 345–397 , DOI 10.1016/j.aim.2004.06.010
↑ Itoh, M. (2005), Capelli Identities for the dual pair ( OM, Sp N) , Mathematische Zeitschrift T. 246 (1–2): 125–154 , DOI 10.1007/s00209-003-0591-2
↑ Nazarov, M. (1991), Quantum Berezinian and the classical Capelli identity , Letters in Mathematical Physics bind 21 (2): 123–131 , DOI 10.1007/BF00401646
↑ Nazarov, M. (1996), Yangians and Capelli-identiteter
↑ Molev, A. (1996), A Remark on the Higher Capelli Identities
↑ Kinoshita, K. & Wakayama, M. (2002), Eksplicitte Capelli-identiteter for skæve symmetriske matricer , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society bind 45(2): 449–465 , DOI 10.1017/S001309117600
↑ Hashimoto, T. (2008), Genereringsfunktion for GLn -invariante differentialoperatorer i den skæve Capelli-identitet
↑ Nishiyama, K. & Wachi, A. (2008), En note om Capelli-identiteterne for symmetriske par af hermitisk type
↑ Umeda, Toru (2008), On the proof of the Capelli-identiteter , Funkcialaj Ekvacioj bind 51 (1): 1–15 , DOI 10.1619/fesi.51.1
↑ Brini, A & Teolis, A (1993), Capellis teori, Koszul-kort og superalgebraer , PNAS bind 90 (21): 10245–10249 , < http://www.pnas.org/content/90/21/ 10245.short > Arkiveret 24. september 2015 på Wayback Machine
↑ Koszul, J (1981), Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'operateur de A. Capelli, CR Acad. sci. Paris (nr. 292): 139–141
↑ Orsted, B & Zhang, G (2001), Capelli-identitet og relative diskrete serier af linjebundter over rørdomæner , < http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/2001/13.pdf > Arkiveret 3. marts 2014 på Wayback Machine
↑ Williamson, S. (1981), Symmetry operators, polarizations, and a generalized Capelli identity , Linear & Multilinear Algebra T. 10(2): 93–102 , DOI 10.1080/03081088108817399
↑ Umeda, Toru (2000), Om Turnbull-identitet for skævsymmetriske matricer , Proc. Edinburgh matematik. soc. V. 43 (2): 379–393 , DOI 10.1017/S0013091500020988

Links

Capelli, Alfredo (1887), Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen , Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) . — V. 29 (3): 331–338, ISSN 1432-1807 , DOI 10.1007/BF01447728
Howe, Roger (1989), Bemærkninger om klassisk invariant teori , Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society). — T. 313 (2): 539–570, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/2001418
Howe, Roger & Umeda, Toru (1991), The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions , Mathematische Annalen bind 290 (1): 565–619 , DOI 10.1007/BF01459261
Umeda, Tôru (1998), The Capelli-identiteter, et århundrede efter , Udvalgte artikler om harmonisk analyse, grupper og invarianter , vol. 183, Amerika. Matematik. soc. Overs. Ser. 2, Providence, R.I.: Amer. Matematik. Soc., s. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5 , < https://books.google.com/books?isbn=0821808400 >
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , < https://books.google.com/?id=zmzKSP2xTtYC > . Hentet 03/2007/26.
Umeda, Toru (2000), Om Turnbull-identitet for skæv-symmetriske matricer , Proc. Edinburgh matematik. soc. V. 43 (2): 379–393 , DOI 10.1017/S0013091500020988