Binet-Cauchy formel

Binet-Cauchy formlen er en sætning om determinanten af produktet af to rektangulære matricer , forudsat at det er en kvadratisk matrix . Bevist i begyndelsen af det 19. århundrede af franske matematikere J. Binet og O. Cauchy .

Ordlyd

Produktet af to rektangulære matricer og giver en kvadratisk matrix af orden, hvis den har kolonner og rækker, og matricen har kolonner og rækker. Mindre af matricer og af samme orden lig med det mindste af tallene og kaldes svarende til hinanden, hvis de er i kolonner (matricer ) og rækker (matricer ) med samme tal. $EN$ $B$ $m$ $EN$ $n$ $m$ $B$ $m$ $n$ $EN$ $B$ $n$ $m$ $EN$ $B$

Matrixdeterminanten er lig med nul if , og er lig med summen af parvise produkter af tilsvarende mindreårige af orden if (summen overtages alle sæt af matrixkolonner og matrixrækker med stigende tal ) [1] . $AB$ $n<m$ $m$ $n\geqslant m$ $EN$ $B$ $i_1<i_2<\ldots<i_m$

Noter

I tilfælde af, at formlen er indlysende. Da matrixens søjler er lineære kombinationer af matrixens søjler , så er matrixen naturligvis degenereret i det tilfælde, hvor antallet af søjler i matrixen er større end antallet af søjler i matrixen . (det vil sige, dens determinant er lig med nul). $n<m$ $|AB|=0$ $AB$ $EN$ $AB$ $EN$ $AB$
I tilfældet tager Binet-Cauchy-formlen den velkendte form: . $n=m$ $|AB|=|A|\,|B|$
I tilfældet er beviset for Binet-Cauchy-formlen mere kompliceret [1] . $n>m$

Eksempel

Lade

A=\venstre(\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\ \end{matrix}\right),\quad B =\left(\begin{matrix } a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{matrix}\right).

Derefter

A\,B=\venstre(\begin{matrix} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_2^2 ^2+\ldots+b_n^2 \\ \end{matrix}\right),

og de tilsvarende mindreårige har formen

\left|\begin{matrix} a_i & b_i \\ a_j & b_j \\ \end{matrix}\right|

for alle , at tage værdier fra til . $i<j$ $en$ $n$

Binet-Cauchy-formlen giver i dette tilfælde ligheden

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i< j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,

hvorfra (i tilfældet hvor alle og er reelle tal ) følger Cauchy-Bunyakovsky-uligheden [1] : $a_{i}$ $b_{i}$

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.

Litteratur

Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M.: Nauka, 1966.
Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. — M.: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.

Noter

↑ 1 2 3 Shafarevich I.R., Remizov A.O. Lineær algebra og geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.

Binet-Cauchy formel

Ordlyd

Noter

Eksempel

Litteratur

Noter

Links