Pizzadeling teorem

Pizzadelingssætningen siger , at arealerne af to områder opnået ved at skære en cirkel på en bestemt måde er lige store .

Navnet på teoremet afspejler den klassiske pizzaskæringsteknik . Sætningen viser, at hvis to personer skærer en pizza på denne måde og skiftes til at tage skiverne, så vil hver person få den samme mængde pizza.

Udtalelse af sætningen

Lad p være et indre punkt af skiven og lad n være et multiplum af 4 og mindst 8. Lad os skære skiven i n sektorer med lige store vinkler (lig med radianer ) langs linjer, der går gennem punktet p . Vi nummererer sektorerne sekventielt med eller mod uret. Så siger pizzasætningen, at:

Summen af ​​arealerne af ulige sektorer er lig med summen af ​​arealerne af lige sektorer [2] .

Historie

Pizzadelingssætningen blev oprindeligt foreslået som et udfordringsproblem af Leslie Upton ( eng.  LJ Upton ) [2] . Den offentliggjorte løsning på dette problem af Michael  Goldberg brugte en direkte anvendelse af algebraiske udtryk for sektorområder.

L. Carter ( eng.  Larry Carter ) og S. Wagon ( eng.  Stan Wagon ) [1] gav et alternativt bevis ved at skære . De viste, hvordan man skærer sektorer i mindre stykker, så hvert stykke i en ulige sektor har et kongruent stykke i en lige sektor og omvendt. G. Frederickson ( eng.  Greg Frederickson ) [3] gav en familie af beviser for dissektion for alle tilfælde (hvor antallet af sektorer er 8, 12, 16, ... ).

Generaliseringer

Kravet om, at antallet af sektorer skal være et multiplum af fire er væsentligt - dette blev vist af Don Coppersmith ; at dele disken i fire sektorer, eller et antal sektorer, der ikke er deleligt med fire, giver normalt ikke lige store arealer. Marby ( eng.  Rick Mabry ) og Dierman ( eng.  L. Paul Deiermann ) [4] besvarede løsningen af ​​Carter og Wagon [5] , hvilket gav en mere præcis version af sætningen , som bestemmer hvilke af sætene af sektorer der vil have et stort areal, hvis arealer ikke er lige store. Især hvis antallet af sektorer er sammenligneligt med 2 ( mod 8), og ingen af ​​snittene passerer gennem midten af ​​skiven, så har delmængden af ​​stykker, der indeholder midten, et mindre areal; mens i det tilfælde, hvor antallet af sektorer er sammenligneligt med 6 (mod 8), og ingen af ​​snittene passerer gennem midten, har sættet af stykker, der indeholder midten, et stort areal. Et ulige antal sektorer er umuligt med lige snit, og et snit gennem midten gør begge sæt sektorer lige i areal, uanset antallet af sektorer.

Marby og Dyerman [4] bemærkede også, at i det tilfælde, hvor pizzaen er delt ligeligt, så er kanten også delt ligeligt (kanten kan betragtes som enten pizzaens omkreds eller området mellem kanten af ​​cirklen (pizza) ) og en mindre cirkel med samme centrum, forudsat at delepunktet ligger i denne mindre cirkel), da skiverne, der er afgrænset af begge cirkler, er delt ligeligt, så vil deres forskel også være. Men hvis pizzaen ikke er jævnt fordelt, så får den spiser, der får mest areal af pizzaen, et mindre stykke af kanten.

Som Hischhorns [6] bemærkede , resulterer lige deling af en pizza også i en ligelig deling af dens topping, hvis toppingen er fordelt i en cirkel (ikke nødvendigvis koncentrisk med pizzacirklen), der indeholder det centrale punkt p af opdelingen i sektorer.

En generalisering af pizzasætningen for en n-dimensionel kugle blev foreslået i Yu. A. Brailovs arbejde: et sæt hyperplaner, som har en lignende egenskab, svarer til en endelig reflektionsgruppe af typen B_n [7] .

Relaterede resultater

Hirshhorns [6] viste, at en pizza skåret som i pizzasætningen i n sektorer med lige store vinkler, hvor n er delelig med fire, kan deles ligeligt mellem n /4 personer. For eksempel kan en pizza opdelt i 12 sektorer deles ligeligt mellem tre personer. Men for at fordele en pizza blandt fem personer, er det nødvendigt at dele pizzaen op i 20 sektorer.

Cybulka, Kinchl et al. [8] og Knauer, Micek, Jokordt [9] studerede spillet med at vælge gratis pizzaskiver for at garantere flertallet, et problem foreslået af Dan Brown og Peter Winkler . I den version af problemet, de undersøgte, er pizzaen opdelt radialt (uden garanti for, at vinklerne på sektorerne er ens), og de to spisende gæster vælger skiftevis skiver pizza, der støder op til de sektorer, de allerede har spist. Hvis to spisende gæster forsøger at maksimere mængden af ​​spist pizza, så kan den spisende, der tager den første skive, garantere sig 4/9 af hele pizzaen, og der er pizzaudskæringer, hvor han ikke kan få mere. Problemet med retfærdig opdeling eller tærteopdeling betragter lignende spil, hvor forskellige spillere har forskellige kriterier for at måle størrelsen af ​​deres andel. For eksempel kan én spiser foretrække mere pepperoni , mens en anden måske foretrækker ost [10] .

Se også

Andre matematiske beregninger tæt på opdelingen af ​​pizza inkluderer dovne leverandørsekvenser  , en sekvens af heltal, der repræsenterer det maksimale antal skiver pizza, der kan opnås ved direkte udskæringer, samt sandwich-sætningen om udskæring af tredimensionelle objekter, fra de to -dimensionel version, hvoraf det følger, at pizza endda er grim, formen kan deles i to langs området og langs kanten på samme tid ved et snit, og af den tredimensionelle version af sætningen følger det, at der er en plan , der lige deler bund og fyld.

Noter

  1. ↑ 12 Carter, Wagon, 1994a .
  2. ↑ 12 Upton , 1968 .
  3. ↑ Frederickson, 2012 .
  4. ↑ 1 2 Mabry, Deiermann, 2009 .
  5. ↑ Carter, Wagon, 1994b .
  6. ↑ 12 Hirschhorns , 1999 .
  7. ↑ Brailov Yu. A. Refleksionsgrupper og  pizzasætningen // Algebra i Analiz. - 2021. - T. 33 , no. 6 . - S. 1-8 . Arkiveret fra originalen den 28. november 2021.
  8. ↑ Cibulka, Kynčl et al., 2010 .
  9. ↑ Knauer, Micek, Ueckerdt, 2011 .
  10. ↑ OM Musina, E. F. Ott. Nye funktionelle produkter - blød ost "Globozum" og halvhård ost "Pladolens" // Heesemaking og smørfremstilling. - 2019. - Udgave. 2 . — S. 14–16 . — ISSN 2073-4018 . - doi : 10.31515/2073-4018-2019-2-14-16 .

Litteratur