Lebesgues dominerede konvergenssætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Lebesgue-sætningen om domineret konvergens i funktionel analyse , sandsynlighedsteori og relaterede discipliner er en sætning, der siger, at hvis en sekvens af målbare funktioner, der konvergerer næsten overalt, kan afgrænses i absolut værdi af en integrerbar funktion fra oven, så er alle medlemmer af sekvensen, som såvel som grænsefunktionen er også integrerbare. Desuden konvergerer integralet af sekvensen til integralet af dens grænse.

Ordlyd

Lad et mellemrum med mål være fast . Lad os antage, at og er målbare funktioner på , desuden næsten overalt . Så hvis der eksisterer en integrerbar funktion defineret på det samme rum, sådan at næsten overalt, så er funktionerne integrerbare og $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f_n$ $x$ $f_{n}(x)\til f(x)$ $g$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ $f_{n},\;f$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\ ,\mu(dx).

Bemærk

Betingelsen om, at en sekvens er majoriseret af en integrerbar funktion, er grundlæggende og kan ikke udelades, som det følgende modeksempel viser. Lad , hvor være en Borel -algebra på , og vær Lebesgue-målet på samme rum. Lad os definere $\{f_{n}\}$ $g$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B)),\;m)$ ${\mathcal {B}}$ $\sigma$ $[0,\;1]$ $m$

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}

Så kan sekvensen ikke majoriseres af en integrerbar funktion, og $\{f_{n}\}$

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _ {{n\to \infty }}\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).

Anvendelse til sandsynlighedsteori

Da den matematiske forventning til en stokastisk variabel er defineret som dens Lebesgue-integral over rummet af elementære udfald , overføres ovenstående sætning til sandsynlighedsteori . Lad der være en sekvens af tilfældige variable, der konvergerer næsten overalt : næsten overalt. Lad derudover eksistere en integrerbar tilfældig variabel sådan, at næsten sikkert. Så er de stokastiske variable integrerbare og $\Omega$ $X_{n}\til X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}X_{n}={\mathbb {E}}X.

Variationer og generaliseringer

Lebesgue