I gruppeteorien siger Cayleys sætning , at enhver endelig gruppe er isomorf for en eller anden undergruppe af permutationsgruppen af sættet af elementer i den gruppe. I dette tilfælde sammenlignes hvert element med permutationen givet af identiteten , hvor g er et vilkårligt element i gruppen G .
Lad være en begrænset rækkefølge . Vi er nødt til at konstruere en isomorfi fra ind i permutationsundergruppen . For at gøre dette er det tilstrækkeligt at associere med hvert element g i gruppen G en permutation af elementer i G selv (man kan identificere en permutation af G med en permutation af et hvilket som helst andet sæt ved at bruge en en-til-en korrespondance af deres elementer) . Med andre ord skal du konstruere en funktion , hvor er en samling af permutationer af G. Gruppen bestemmes ved hjælp af multiplikation til venstre .
Lad os bevise, at vi har opnået en permutation. Hvis , så , da G er en gruppe, i særdeleshed, alle dens elementer er invertible (der eksisterer ). Desuden er handlingen på et element i gruppen x lig , og dette er lig i lyset af associativiteten af G. Endelig, hvis da og derfor er injektiv (1-1).
Overvej en gruppe med en given operation Find dens afbildning ind i det vil sige, find en isomorf undergruppe
Lad os definere kortlægningen
I denne konstruktion sætter permutationen for hver "additionstabellen" med tallet . For eksempel går tallet 2 i til summen (gruppeoperation ) 2 (selve dette tal) og 1 (elementet i gruppen, som permutationen bestemmes for). Definerer således identitetskortlægningen .
Kortlægningen er en homomorfi . For eksempel . Det følger især af homomorfiegenskaberne, at sættet af resulterende permutationer danner en gruppe.