Cayleys teorem (gruppeteori)

I gruppeteorien siger Cayleys sætning , at enhver endelig gruppe er isomorf for en eller anden undergruppe af permutationsgruppen af sættet af elementer i den gruppe. I dette tilfælde sammenlignes hvert element med permutationen givet af identiteten , hvor g er et vilkårligt element i gruppen G . $(G,\cirkel)$ $a\i G$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}(g)=a\cirkel g,$

Bevis

Lad være en begrænset rækkefølge . Vi er nødt til at konstruere en isomorfi fra ind i permutationsundergruppen . For at gøre dette er det tilstrækkeligt at associere med hvert element g i gruppen G en permutation af elementer i G selv (man kan identificere en permutation af G med en permutation af et hvilket som helst andet sæt ved at bruge en en-til-en korrespondance af deres elementer) . Med andre ord skal du konstruere en funktion , hvor er en samling af permutationer af G. Gruppen bestemmes ved hjælp af multiplikation til venstre . $G$ $n$ $G$ $S_{n}$ $\varphi :G\rightarrow S_{G}$ $S_{G}$ $\varphi (g):G\rightarrow G$ $(\varphi (g))(x)=gx$

Lad os bevise, at vi har opnået en permutation. Hvis , så , da G er en gruppe, i særdeleshed, alle dens elementer er invertible (der eksisterer ). Desuden er handlingen på et element i gruppen x lig , og dette er lig i lyset af associativiteten af G. Endelig, hvis da og derfor er injektiv (1-1). $gx=gy$ $x=y$ $g^{{-1}}$ $\varphi (gh)$ $\ (\varphi (gh))(x)=(gh)x$ $\varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)$ $\varphi (g)=\varphi (h)$ $g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h$ $\varphi$

Eksempel

Overvej en gruppe med en given operation Find dens afbildning ind i det vil sige, find en isomorf undergruppe ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $+.$ $S_{4},$ $S_{4},$ $G.$

Lad os definere kortlægningen ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4))$

\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}

\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}

\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}

\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}

I denne konstruktion sætter permutationen for hver "additionstabellen" med tallet . For eksempel går tallet 2 i til summen (gruppeoperation ) 2 (selve dette tal) og 1 (elementet i gruppen, som permutationen bestemmes for). Definerer således identitetskortlægningen . $\varphi (n)$ $n$ $n$ $\varphi (1)$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $\varphi (0)$ $\mathrm {id} _{G}(g)=g$

Kortlægningen er en homomorfi . For eksempel . Det følger især af homomorfiegenskaberne, at sættet af resulterende permutationer danner en gruppe. $\varphi$ $\varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)$

Litteratur

Jacobson, Nathan (2009), Grundlæggende algebra (2. udgave), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Aleksandrov PS Introduktion til gruppeteori. Kvantebibliotek. Problem. 7. M.: Nauka, 1980.