Dirichlets enhedssætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Dirichlets enhedssætning er en sætning i algebraisk talteori , der beskriver rangeringen af en undergruppe af inverterbare elementer (også kaldet enheder ) i ringen af algebraiske heltal i et talfelt . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

Ordlyd

Lad være et tal felt (det vil sige en endelig forlængelse af ) og lad være dens ring af heltal. Så er rangen af gruppen af inverterbare elementer lig med , hvor er antallet af forskellige indlejringer i feltet af reelle tal , og er antallet af par af komplekse konjugerede forskellige indlejringer i , der ikke er rent reelle. $K$ $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $d=r+s-1$ $r$ $K$ $\mathbb {R}$ $s$ $\mathbb {C}$

Noter

Med andre ord er der enheder i gradfeltringen , således at hver enhed er unikt repræsenteret som ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $n=r+2s$ $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

hvor er heltal, og er en rod af 1 indeholdt i

{\displaystyle a_{1},...,a_{d))

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

De enheder, hvis eksistens er fastslået af Dirichlets sætning, kaldes ringens grundlæggende enheder . ${\displaystyle \varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{d))$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Hvis , hvor er roden af et irreducerbart polynomium med rødder , så er indlejringen reel hvis og kun hvis er en reel rod af ligningen . $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta$ $f(x)$ $\theta _{1},...,\theta _{n}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x)=0$

Bevisskema

Ved antagelse er der reelle isomorfier og komplekse isomorfier . Som bevis er elementerne i feltet vist i to rum: lineær og logaritmisk . $r$ ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{r))$ $2s$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma}}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma}}_{ r+s}$ $L$ $EN$

$L$ - rum af rækker af formen , hvor med komponentvis addition og multiplikation. Lad os definere som , indlejringen er injektiv . Billedet af feltet er en vis diskret gitter - et sæt af elementer af formen , hvor , og - nogle grundlag for gitteret. $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$ $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ $x:K\to L$ $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $K$ ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n))$ $a_{j}\in \mathbb {Z}$ $e_{i}$

Pladsen er indrettet således: , , , . - Konverterer multiplikation til addition. Hvis det er normen , så . $EN$ $l:L\to A$ $l(x)={\bar {\lambda ))=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ $l(xy)=l(x)+l(y)$ $N(\alpha )$ $\alfa$ $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

Yderligere betragtes gruppen af enheder (reversible elementer) i feltet . Et sæt er en gruppe ved multiplikation. Hvis altså , dvs. mængden er afgrænset, hvilket betyder, at den er finit, hvilket betyder, at den består af rødder fra 1 og er en undergruppe af . Hvis er en vilkårlig enhed, så , , . Denne ligning definerer et dimensionshyperplan . Billedet er et gitter i , da det er en gruppe ved addition og er diskret som et kontinuerligt billede af et diskret gitter . $E$ $K$ ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\))$ $l(\alpha )=0$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ $x(W)$ $W$ $E$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon )=1$ $\ln |N(\varepsilon )|=0$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $EN$ $l(x(E))$ $x(E)$

Enhver enhed er således roden af 1, . Det er tilbage at bevise, at rangen er nøjagtig , eller det er et komplet gitter i . Et gitter i rummet er komplet, hvis og kun hvis der er et afgrænset sæt i rummet, hvis skift af alle vektorer i gitteret fuldstændigt fylder hele rummet. Beviset bruger Minkowskis konvekse kropslemma . Indstillingen tages som lemmaets krop . Dens volumen er . Anvendelse af Minkowski-lemmaet giver følgende konsekvens: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $E$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Hvis volumenet af det vigtigste parallelepipedum spændt over af basisvektorerne af gitteret er ens , og tallene er sådan, at , Så er der en ikke-nul vektor i gitteret sådan, at . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $x$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

For enhver , vi har . Betegn - et hyperplan parallelt med . Lad - være vilkårlig, og . Hvis - er tilstrækkelig stor, så , og dermed af konsekvensen ovenfor fra Minkowski-lemmaet, eksisterer der sådan, at , det vil sige , , . $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda ))^{0}\in {\mathcal {I))$ ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k))$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ $N(\alpha )<Q$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Lad os udpege det vilkårlige førnævnte sæt som . Det er klart, at alle sæt er afgrænsede. , dvs. opnås ved at skifte med vektoren $\alpha :N(\alpha )<Q$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$ $Y_{\alpha \varepsilon }$ $Y_{\alpha }$ $l(\varepsilon )$

I der er kun et begrænset antal parvise ikke-associerede tal , hvis normer er mindre end i absolut værdi , det vil sige hvis , så for nogle enhed . Da de dækker alle , og , betyder det, at forskydningerne af det afgrænsede sæt af alle vektorer vil dække alle . Dette betyder, at skift af det afgrænsede sæt af alle vektorer vil dække alt , hvilket beviser sætningen. ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$ $Q$ $N(\alpha )<Q$ $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ $\varepsilon$ $Y_{\alpha }$ $\mathcal{I}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\cup ...\cup Y_{\alpha _{N}}$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{I}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{L}$

Variationer og generaliseringer

Da udvidelsen af grad n opfylder , så , og lighed gælder hvis og kun hvis alle indlejringer i rent reelle. $r+2s=n$ $d\leqslant n-1$ $K$ $\mathbb {C}$

Feltgruppen af enheder udtømmes med rødder fra 1, hvis og kun hvis , dvs. for og for er en imaginær kvadratisk forlængelse. I alle andre tilfælde er der altid mindst én basisenhed. $r+s=1$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

Eksistensen af ikke-trivielle hele løsninger af Pells ligning er afledt af denne sætning anvendt på en kvadratisk forlængelse af . $x^{2}-my^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m)))$ $\mathbb {Q}$

Tilfældet med gruppen af inverterbare elementer med maksimal rang er relateret [1] til multidimensionelle fortsatte fraktioner .

Litteratur

↑ V. I. Arnold. Lænkede fraktioner . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Arkiveret 8. juli 2011 på Wayback Machine

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion til moderne talteori. - M . : Mir, 1987. - S. 237.
Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Talteori . - M . : Nauka, hovedudgaven af fysisk og matematisk litteratur, 1985. - S. 131 .