Weyls ensartede fordelingsteorem

Weyls ensartede fordelingssætning formulerer et kriterium for den ensartede fordeling af en uendelig række af reelle tal fra intervallet . $(0;1)$

Sætningen blev bevist i 1914 og udgivet i 1916 af Hermann Weyl . [1] [2]

Definitioner

Lade være en uendelig række af reelle tal fra intervallet $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ $(0;1)$

For tal , angives med antallet af tal fra , der ligger i intervallet . $a,b\in (0;1),\ a<b$ $\varphi _{n}(a,b)=\#\venstre\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace$ ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n))$ $(a;b)$

Vi definerer den maksimale maksimale afvigelse som . $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left(({\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n))-(ba) }\ret)}$

Sekvensen kaldes ensartet fordelt i if . Med andre ord er sekvensen ensartet fordelt i , hvis, i et ikke-nul segment, andelen af elementer, der falder ind i dette segment, har tendens til brøkdelen af segmentstørrelsen i . $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ $(0;1)$ $D_{\xi }=0$ $(0;1)$ $(0;1)$

Udtalelse af sætningen

Sekvensen er ensartet fordelt i, hvis og kun hvis følgende identitet gælder for enhver Riemann - integrerbar funktion på intervallet : $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $(0;1)$ $f$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}

Bevis

Det er klart, at udsagnet om ensartet fordeling svarer til opfyldelsen af identiteten for stykkevis konstante funktioner af formen . Dette giver straks den ensartethed, der følger af opfyldelsen af identiteten for alle funktioner. $f(x)=\venstre\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\ikke \in (a;b)\end{matrix}}\right .$

Desuden, i tilfælde af en ensartet fordelt sekvens, ved hjælp af sammensætningen af sådanne funktioner og de tilsvarende multiplikationer (med en konstant) og additioner af grænser og integraler, kan man bevise gyldigheden af identiteten for enhver stykkevis konstant funktion.

Da enhver Riemann-integrerbar funktion kan tilnærmes op til værdien af integralet ved en stykkevis konstant funktion (i øvrigt sådan, at ) for , så $f$ ${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx))$ $f_1$ $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$ $\varepsilon >0$

{\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n))\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1 }(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{ 1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx)){\Bigg |}<\varepsilon

\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1} (\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon

Da det per definition følger , så vil det holde for tilstrækkeligt stort $f_1$ ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1 }{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k}))){\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac { 1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k))))){\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k} )}|<\varepsilon$ $n$

{\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0 }^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

Da vilkårligt lille kan erstattes af disse argumenter , betyder det, at $\varepsilon >0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}

Konsekvenser

Test med trigonometriske summer

Weils sætning giver os mulighed for at udlede en direkte forbindelse mellem fordelingens ensartethed og trigonometriske summer . [2]

En sekvens er ensartet fordelt i hvis og kun hvis, for et hvilket som helst heltal , $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0

Beviset for det sidste udsagn udføres på samme måde som beviset for hovedsætningen (se ovenfor), men i stedet for tilnærmelse med en stykkevis lineær funktion, anvendes tilnærmelse med delsummer af Fourierrækken .

Konstanten i formlen er faktisk værdien af integralet . $0$ $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$

Brøkdele af irrationelle multipla

Takket være formuleringen af sætningen ved hjælp af trigonometriske summer er det let at udlede følgende resultat:

Betegn med brøkdelen af tallet $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ $x$

Hvis er et irrationelt tal, så er rækkefølgen ensartet fordelt i . $\xi \in {\mathbb {R} }$ $\left\lbrace {\xi}\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi}\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi}\right\rbrace ,\dots ,\left\ lbrace {n\xi }\right\rbrace ,\dots$ $(0;1)$

Bevis

For at bevise gennem ensartethedskriteriet i trigonometrisk form er det tilstrækkeligt at estimere modulet af den trigonometriske sum for irrationel og heltal . For at gøre dette kan du bruge den enkleste formel for summen af en geometrisk progression . $\xi _{k}=k\xi$ $m\not =0$

{\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi ))}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert } {\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi}}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \ vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi}-e^{2\pi m(n+1)\xi}}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi}-1}\vert }}

Da mængden ikke afhænger af , så følger det for hver enkelt fastsatt af uligheden ovenfor $\vert {e^{2\pi m\xi}-1}\vert$ $n$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0

Litteratur

Kuipers L., Niederreiter G. Ensartet fordeling af sekvenser. — M .: Nauka, 1985. — 408 s.
Cassels J.W.S. Introduktion til teorien om diofantiske tilnærmelser. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1961. - 213 s.

Noter

↑ Hermann Weyl . Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen . - 1916. - Bd. 77. - S. 313-352 . Arkiveret fra originalen den 15. august 2017.
↑ 1 2 K. Chandrasekharan. En introduktion til analytisk talteori . - Verden, 1968. Arkiveret 29. november 2014 på Wayback Machine