Burnsides sætning

Burnsides sætning er en klassisk sætning i teorien om endelige grupper .

Sætningen blev bevist af William Burnside i begyndelsen af det 20. århundrede. [1] Burnsides teorem har længe været den mest berømte anvendelse af repræsentationsteori på gruppeteori . Et bevis uden brug af gruppetegn blev fundet af Goldsmith meget senere. [2]

Ordlyd

Lad gruppen have orden , hvor og er primtal . Så er det tilladt . $G$ $p^{a}\cdot q^{b}$ $s$ $q$ $G$

Noter

Det følger af sætningen, at enhver ikke-abisk endelig enkel gruppe har en rækkefølge, der er delelig med tre forskellige primtal.
- Især den mindste ikke-abelske endelige simple gruppe , den vekslende gruppe, har orden . $A_{5}$ ${\displaystyle 60=5\cdot 3\cdot 2^{2))$

Skema for Burnsides bevis

Ved hjælp af matematisk induktion er det tilstrækkeligt at bevise, at en simpel gruppe af en given orden er abelsk [3] . $G$
Ifølge Sylows teorem har en gruppe enten et ikke-trivielt center eller en størrelseskonjugationsklasse for nogle . I det første tilfælde, da centret er en normal undergruppe af gruppen , skal det falde sammen med centret og dermed være abeliansk. Det betyder, at det andet tilfælde er sandt: der eksisterer et element i gruppen, således at elementets konjugationsklasse har størrelse . $G$ ${\displaystyle p^{r))$ $r\geqslant 1$ $G$ $x$ $G$ $x$ $p^{r}>1$
Ved at bruge ortogonalitetsegenskaberne for gruppetegn og egenskaberne for algebraiske tal kan man bevise eksistensen af et ikke-trivielt irreducerbart gruppekarakter , således at . $\chi$ $G$ $|\chi (x)|=\chi (1)$
Det følger af gruppens enkelthed, at enhver kompleks irreducerbar repræsentation af et tegn er sand (eller nøjagtig), og derfor følger det, at den tilhører gruppens centrum , hvilket modsiger det faktum, at størrelsen af konjugationsklassen er større end 1. $G$ $\chi$ $x$ $G$

Variationer og generaliseringer

Det mindste primtal i udvidelsen af rækkefølgen af en uopløselig endelig gruppe går ind i udvidelsen til en potens på mindst 2.

Noter

↑ Burnside, W. (1904), Om grupper af orden p α q β , Proc. London matematik. soc. (nr. s2-1(1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), Et gruppeteoretisk bevis på p a q b - sætningen for ulige primtal , Math. Z. T. 113: 373-375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Skornyakov L. A. Elementer i algebra. — M.: Nauka, 1986. — S. 228-229. – Oplag 21.000 eksemplarer.

Litteratur

James, Gordon; og Liebeck, Martin (2001). Repræsentationer og karakterer af grupper (2. udg.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . Kapitel 31
Fraleigh, John B. (2002) Et første kursus i abstrakt algebra (7. udgave). Addison Wesley . ISBN 0-201-33596-4 .

Burnsides sætning

Ordlyd

Noter

Skema for Burnsides bevis

Variationer og generaliseringer

Noter

Litteratur

Links