Tensor Algebra

Tensoralgebraen i et lineært rum (betegnet ) er algebraen af tensorer af enhver rang over med operationen af tensormultiplikation. $V$ $T(V)$ $V$

Også kaldet tensoralgebra er den tilsvarende sektion af lineær algebra (det vil sige den sektion, der omhandler tensorer defineret over et enkelt lineært rum, i modsætning til tensoranalyse , der beskæftiger sig med tensorfelter defineret på tangentbundtet af en manifold og differentialrelationer for disse felter).

Definition

Lad V være et vektorrum over et felt K . For ethvert naturligt tal k definerer vi den k'te tensorpotens af V som tensorproduktet af V og sig selv k gange:

T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V

T k V består således af alle tensorer over V af rang k . Vi antager, at T 0 V er jordfeltet K (et endimensionelt vektorrum over sig selv).

Definer T ( V ) som den direkte sum af T k V for alle k = 0,1,2,...

T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty}T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V )\oplus \cdots

Multiplikation i T ( V ) er defineret ved den kanoniske isomorfi givet af tensorproduktet :

T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell}V

som så fortsætter i linearitet til hele T ( V ). En sådan multiplikation gør tensoralgebraen T ( V ) til en graderet algebra .

Universel ejendom og funktionalitet

Tensoralgebraen T ( V ) er den frie algebra i vektorrummet V. Som med enhver anden fri konstruktion , er T den venstre adjoint-funktionor af den glemsomme funktion (som i dette tilfælde sender K-algebraen ind i dets vektorrum). En tensoralgebra opfylder følgende universelle egenskab , som formaliserer påstanden om, at det er den mest generelle algebra, der indeholder rummet V :

Enhver lineær afbildning fra et rum V over et felt K til en algebra A over K kan entydigt udvides til en algebrahomomorfi . Dette udsagn er udtrykt ved det kommutative diagram :

f:V\to A

{\bar {f}}:T(V)\to A

hvor i er den kanoniske indlejring af V i T ( V ). En tensoralgebra kan defineres som den eneste (op til en isomorfi ) algebra, der har denne egenskab, selvom det stadig er nødvendigt at vise eksplicit, at en sådan algebra eksisterer.

Ovenstående universelle egenskab viser, at en tensoralgebra er funktionel , det vil sige, at T er en funktor fra kategorien K -Vect af vektorrum over K til kategorien K -Alg K -algebraer. Den kendsgerning, at T er funktionel, betyder, at enhver lineær afbildning fra V til W unikt kan udvides til en homomorfi fra algebraen T(V) til T(W).

Ikke-kommutative polynomier

Hvis dimensionen af V er endelig og lig med n , så kan tensoralgebraen ses som en polynomial algebra over K med n ikke-kommutative variable. Basisvektorerne V svarer til ikke-kommutative variable, og deres multiplikation vil være associativ, distributiv og K -lineær.

Bemærk, at polynomialalgebraen over V ikke er , men : en homogen lineær funktion på V er et element i det dobbelte rum . $T(V)$ $T(V^{*})$ $V^*$

Faktoralgebraer

På grund af tensoralgebraens almene karakter kan mange andre vigtige algebraer i rummet V opnås ved at pålægge tensoralgebraens generatorer visse begrænsninger, det vil sige ved at konstruere en faktoralgebra ud fra T ( V ). For eksempel kan den ydre algebra , den symmetriske algebra og Clifford-algebraen konstrueres på denne måde .

Variationer og generaliseringer

Konstruktionen af en tensoralgebra over et lineært rum generaliserer naturligvis til en tensoralgebra over et modul M over en kommutativ ring . Hvis R er en ikke-kommutativ ring , kan man konstruere et tensorprodukt for alle R - bimoduler over M. For almindelige R - moduler viser det sig at være umuligt at konstruere et multiple tensor produkt.