Summen af tre terninger

Summen af tre terninger er et åbent problem i matematik om repræsentativiteten af et heltal som summen af tre terninger af heltal (positive eller negative) tal.

Den tilsvarende diofantiske ligning er skrevet som en nødvendig betingelse for repræsentativiteten af et tal som summen af tre terninger: når den divideres med 9, efterlader den ikke en rest på 4 eller 5. $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.$ $n$ $n$

I varianter af problemet skal tallet være repræsenteret ved summen af terninger af kun ikke-negative eller rationelle tal. Ethvert heltal kan repræsenteres som en sum af rationelle terninger, men det vides ikke, om summer af ikke-negative terninger danner et sæt med asymptotisk tæthed , der ikke er nul .

Historie

Spørgsmålet om at repræsentere et vilkårligt heltal som en sum af tre terninger har eksisteret i omkring 200 år, den første kendte parametriske løsning i rationelle tal blev givet af S. Riley i 1825. Parametriske løsninger i heltal findes for - i 1908 af A. S. Verebryusov [1] (en lærer i matematik ved Feodosiya mandlige gymnasium , søn af S. I. Verebryusov ), for - i 1936 af Mahler [2] . $n=2$ $n=1$

Beslutninger

En nødvendig betingelse for repræsentativiteten af et tal som summen af tre terninger: når det divideres med 9, giver det ikke en rest på 4 eller 5; da terningen af et hvilket som helst heltal, når det divideres med 9, giver en rest på 0, 1 eller 8, så kan summen af tre terninger, når de divideres med 9, ikke give en rest på 4 eller 5 [3] . Det vides ikke, om denne betingelse er tilstrækkelig. $n$ $n$

I 1992 foreslog Roger Heath-Brown, at enhver , der ikke giver en rest på 4 eller 5, når de divideres med 9, har uendeligt mange repræsentationer som summer af tre terninger [4] . $n$

Det vides dog ikke, om repræsentationen af tal som en sum af tre terninger er algoritmisk afgørbar, det vil sige om algoritmen kan kontrollere eksistensen af en løsning for et givet tal i en begrænset tid. Hvis Heath-Brown-hypotesen er sand, så er problemet løseligt, og algoritmen kan løse problemet korrekt. Heath-Brown-undersøgelsen inkluderer også mere præcise gæt om, hvor langt en algoritme skal se for at finde en eksplicit repræsentation, snarere end blot at afgøre, om den eksisterer [4] .

Casen , hvis repræsentation som sum af terninger ikke var kendt i lang tid, bruges af Bjørn Punen som et indledende eksempel i en undersøgelse af uafklarelige problemer i talteorien , hvor Hilberts tiende opgave er det mest berømte eksempel [5] . $n=33$

Små tal

For der er kun trivielle løsninger $n=0$

a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.

En ikke- triviel repræsentation af 0 som summen af tre terninger ville give et modeksempel til Fermats sidste sætning for grad 3 [6] bevist af Leonhard Euler : da en af de tre terninger vil have det modsatte fortegn til de to andre tal, derfor dens negation er lig med summen af disse to.

For og der er et uendeligt antal familier af løsninger, for eksempel (1 - Mahler, 1936, 2 - Verebryusov, 1908): $n=1$ $n=2$

(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,

(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.

Der er andre repræsentationer og andre parametriserede familier af repræsentationer for 1 [7] . For 2 andre kendte repræsentationer er [7] [8]

1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,

37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,

373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.

Disse ligheder kan bruges til at dekomponere enhver terning eller fordoblet terning til en sum af tre terninger [1] [9] .

1 og 2 er dog de eneste tal med repræsentationer, der kan parametreres af polynomier af fjerde grad [10] . Selv i tilfælde af repræsentationer skrev Louis J. Mordell i 1953: "Jeg ved ikke andet" end små beslutninger $n=3$

4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,

1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,

og også at alle tre terninger skal være lig med 1 modulo 9 [11] [12] . Den 17. september 2019 offentliggjorde Andrew Booker og Andrew Sutherland, som fandt en repræsentation for vanskelige sager 33 og 42 (se nedenfor), en anden repræsentation 3, som det tog 4 millioner timer at finde i Charity Engine-netværket [13] [14] :

569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 79315\ 453\ 327\ 032)^{3}=3,

Andre numre

Siden 1955, efter Mordell, har mange forskere søgt efter løsninger ved hjælp af en computer [15] [16] [8] [17] [18] [19] [20] [2] [21] [22] .

I 1954 finder Miller og Woollett repræsentationer for 69 tal fra 1 til 100. I 1963 udforsker Gardiner, Lazarus, Stein intervallet fra 1 til 999, de finder repræsentationer for mange tal, bortset fra 70 tal, hvoraf 8 værdier er mindre end 100. I I 1992 fandt Heath-Brown et al. en løsning til 39. I 1994 fandt Koyama ved hjælp af moderne computere løsninger på 16 flere numre fra 100 til 1000. I 1994 fandt Conn og Waserstein - 84 og 960. I 1995, Bremner - 75 og 600, Lux - 110, 435, 478. I 1997, Koyama et al.. - 5 nye numre fra 100 til 1000. I 1999, Elkis - 30 og 10 flere nye numre fra 10000 I 2007, Beck et al. - 52, 195, 588 [2] . I 2016 Huisman - 74, 606, 830, 966 [22] .

Elsenhans og Jahnel i 2009 [21] brugte Elkis-metoden [20] , som bruger gitterbasisreduktion til at finde alle løsninger af den diofantiske ligning for positiv højst 1000 og for [21] , derefter udvidede Huisman i 2016 [22] søg til . $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $n$ ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14))$ ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15))$

I foråret 2019 udviklede Andrew Booker (University of Bristol) en anden søgestrategi med beregningstid proportional med snarere end deres maksimum, og fandt en repræsentation på 33 og 795 [23] [24] [25] : ${\displaystyle \min {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )))$

33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},

795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323 923^{3}.

I september 2019 lukkede Booker og Andrew Sutherland intervallet til 100 ved at finde en repræsentation på 42, hvortil der blev brugt 1,3 millioner timers beregning i Charity Engine [26] :

42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335 631^{3}.

Senere, i samme måned, fandt de en nedbrydning af tallet 906 [27] :

906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 35 503^{3}.

Og så 165 [28] :

165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\ 4267\ 814^{3}.

For 2019 blev der fundet repræsentationer af alle tal op til 100, der ikke er lig med 4 eller 5 modulo 9. Repræsentationer for 7 tal fra 100 til 1000 forbliver ukendte: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975 [26] .

Den mindste uopklarede sag er [26] . $n=114$

Indstillinger

Der er en variant af problemet, hvor tallet skal repræsenteres som summen af tre terninger af ikke-negative heltal, dette problem er relateret til Warings problem . I det 19. århundrede udarbejdede Carl Gustav Jacob Jacobi og hans kolleger tabeller med løsninger på dette problem [29] . Det antages, men ikke bevist, at repræsentative tal har en positiv asymptotisk tæthed [30] [31] , selvom Trevor Wooley har vist, at det er muligt at repræsentere tal i området fra til [32] [33] [34] i denne vej . Densitet ikke mere end [3] . $\Omega (n^{0{,}917})$ $en$ $n$ $\Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0{,}119$

En anden mulighed er med rationelle tal. Det er kendt, at ethvert heltal kan repræsenteres som summen af tre terninger af rationelle tal [35] [36] .

Se også

Noter

↑ 1 2 A. S. Verebryusov (1908), Om ligningen x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3 , Matematisk samling T. 26 (4): 622–624 , < http://mi.mathnet.ru /msb6615 >
↑ 1 2 3 Beck, Michael; Pine, Erik; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), Nye heltalsrepræsentationer som summen af tre terninger , Mathematics of Computation bind 76 (259): 1683–1690 , DOI 10.1090/S0025-5718-07-01947-3
↑ 1 2 Davenport, H. (1939), Om Warings problem for terninger , Acta Mathematica T. 71: 123–143 , DOI 10.1007/BF02547752
↑ 1 2 Heath-Brown, DR (1992), Tætheden af nuller af former for hvilke svag tilnærmelse fejler , Mathematics of Computation bind 59 (200): 613–623 , DOI 10.2307/2153078
↑ Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory , Notices of the American Mathematical Society bind 55 (3): 344–350 , < https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf >
↑ Machis, Yu. Yu. (2007), Om Eulers hypotetiske bevis , Mathematical Notes vol. 82 (3): 352–356 , DOI 10.1134/S0001434607090088
↑ 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), En ny metode i problemet med tre terninger , DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301
↑ 1 2 Heath-Brown, D. R. ; Lioen, WM & te Riele, HJJ (1993), On solving the Diophantine equation on a vector computer $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Mathematics of Computation bind 61 (203): 235–244, doi : 10.2307/2152950 , < https://ir.cwi .nl/pub/5502 >
↑ Mahler, Kurt (1936), Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood , Journal of the London Mathematical Society bind 11(2): 136–138 , DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136
↑ Mordell, LJ (1942), On sums of three cubes , Journal of the London Mathematical Society , Second Series bind 17 (3): 139–144 , DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139
↑ Mordell, LJ (1953), On the integer solutions of the equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ , Journal of the London Mathematical Society , Second Series bind 28: 500–510 , DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500
↑ Lighedsmod 9 af tal, hvis terninger summen til 3 blev krediteret til JWS Cassels af Mordell (1953 ), men beviset heraf blev ikke offentliggjort før Cassels, JWS (1985), A note on the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ , Mathematics of Computation Vol . 44 (169): 265-266 , DOI 10.2307/2007811 .
↑ Lu, Donna Matematikere finder en helt ny måde at skrive tallet 3 på . New Scientist (18. september 2019). Hentet: 11. oktober 2019. (ubestemt)
↑ markmcan. En sindssyg stor sum af tre terninger for 3 opdaget - efter 66 års søgning . [tweet] . Twitter (17. september 2019) . (ubestemt)
↑ Miller, JCP & Woollett, MFC (1955), Solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Journal of the London Mathematical Society , Second Series bind 30: 101–110 , DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101
↑ Gardiner, VL; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ , Mathematics of Computation bind 18 (87): 408–413 , DOI 10.2307/2003763
↑ Conn, W. & Vaserstein, LN (1994), On sums of three integral cubes , The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992) , vol. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 285–294 , DOI 10.1090/conm/166/01628
↑ Bremner, Andrew (1995), Om summen af tre terninger, Talteori (Halifax, NS, 1994) , vol. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 87-91
↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), On searching for solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ , Mathematics of Computation bind 66 (218): 841–851 , DOI 10.1090/S0025-52018-307
↑ 1 2 Elkies, Noam D. (2000), Rational points near curves and small non-zero via lattice reduction $|x^{3}-y^{2}|$ , Algorithmic number theory (Leiden, 2000) , vol. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, s. 33–63 , DOI 10.1007/10722028_2
↑ 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes , Mathematics of Computation vol .
↑ 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Nyere summer af tre terninger
↑ Kalai, Gil (9. marts 2019), Combinatorics og mere , >
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , University of Bristol , < https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf >
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , Research in Number Theory , vol. 05:26, Springer , DOI 10.1007/s40993-019-0162-1
↑ 1 2 3 Houston, Robin 42 er svaret på spørgsmålet 'hvad er (-80538738812075974) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 ?' . The Aperiodical (6. september 2019). Dato for adgang: 4. januar 2021. (ubestemt)
↑ Andrew V. Sutherlands personlige webside . Hentet: 20. september 2019. (ubestemt)
↑ Andrew V. Sutherlands personlige webside . Hentet: 30. september 2019. (ubestemt)
↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), History of theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis , Carnegie Institution of Washington, s. 717 , < https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716 >
↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Sums of three cubes in three linked three-progressions , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 1995 (466): 45–85 , DOI 10.1515/crll.199445.
↑ Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), Om tætheden af summer af tre terninger , i Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Tyskland, 23.-28. juli 2006, Proceedings , vol. 4076, Lecture Notes in Computer Science, Berlin: Springer, s. 141–155 , DOI 10.1007/11792086_11
↑ Wooley, Trevor D. (1995), Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behavior , Inventiones Mathematicae T. 122 (3): 421–451 , DOI 10.1007/BF012314
↑ Wooley, Trevor D. (2000), Sums of three cubes , Mathematika T. 47 (1–2): 53–61 (2002) , DOI 10.1112/S0025579300015710
↑ Wooley, Trevor D. (2015), Sums of three cubes, II , Acta Arithmetica bind 170 (1): 73–100 , DOI 10.4064/aa170-1-6
↑ Richmond, H.W. (1923), Om analoger til Warings problem for rationelle tal , Proceedings of the London Mathematical Society , Second Series bind 21: 401–409 , DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401
↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), Om repræsentationen af positive heltal som summer af tre terninger af positive rationelle tal, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, s. 49-53

Summen af ​​tre terninger