Strukturel teorem for endeligt genererede moduler over domæner af principielle idealer

Struktursætningen for endeligt genererede moduler over principielle ideelle domæner er en generalisering af teoremet om klassificeringen af endeligt genererede Abelia-grupper . Denne teorem giver en generel måde at forstå nogle resultater om kanoniske former for matricer.

Sætning

Hvis et vektorrum over et felt k har et endeligt generatorsæt, kan man altid vælge en basis fra det , så vektorrummet er isomorft til k n . For endeligt genererede moduler er dette ikke længere sandt (modeksemplet er , som genereres af et element som et Z -modul), dog kan et sådant modul repræsenteres som et faktormodul af formen R n /A (for at se dette er det nok at kortlægge grundlaget R n i et generatorsæt og bruge homomorfi-sætningen ). Ved at ændre valget af basis i R n og generatorsættet i modulet kan denne faktor reduceres til en simpel form, og dette giver struktursætningen. $\mathbb Z_2$

Formuleringen af struktursætningen er normalt givet i to forskellige former.

Dekomponering i invariante faktorer

Hvert endeligt genereret modul M over hovedidealernes domæne R er isomorf til et unikt modul af formen

\bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}) ,

hvor og (det vil sige deleligt med ). Rækkefølgen af ikke -nul er entydigt bestemt, ligesom tallet er . $(d_i) \neq R$ $d_i \vert d_{i+1}$ $d_{i+1}$ $d_{i}$ $(d_i)$ $(d_i)=0$

For at angive et endeligt genereret modul M , er det således tilstrækkeligt at angive ikke-nul (der opfylder to betingelser) og et tal lig med nul . Elementerne er unikt defineret op til multiplikation med invertible elementer i ringen og kaldes invariante faktorer. $(d_i)$ $(d_i)$ $d_{i}$

Dekomponering i primære faktorer

Hvert endeligt genereret modul M over hovedidealernes domæne R er isomorf til et unikt modul af formen

\bigoplus _{i}R/(q_{i}),

hvor og alle er primære idealer . Desuden er de selv entydigt bestemt (op til multiplikation med reversible elementer). $(q_i) \neq R$ $(q_i)$ $q_{i}$

I det tilfælde, hvor ringen R er euklidisk , er alle primære idealer magter af primtal , det vil sige . $(q_i)=(p_i^{r_i})$

Skitse af et bevis for euklidiske ringe

Mange vigtigste ideelle domæner er også euklidiske ringe . Desuden er beviset for euklidiske ringe noget enklere; her er dens vigtigste trin.

Lemma. Lad A være en euklidisk ring, M et frit A - modul og N dets undermodul. Så er N også fri, dens rang overstiger ikke rangeringen af M , og der eksisterer en basis {e 1 , e 2 , … e m } for modulet M og ikke-nul-elementer {u 1 , … uk } af ringen A sådan at {u 1 e 1 , … u k e k } er grundlaget for N og u i+1 er deleligt med u i .

Beviset for at N er frit er ved induktion på m . Basen m = 0 er indlysende, lad os bevise induktionstrinnet. Lad M 1 være genereret af elementerne {e 1 , … e m-1 }, N 1 - skæringspunktet mellem M 1 og N - er fri ved den induktive antagelse. De sidste koordinater af elementer N i basis {e 1 , … e m } danner et undermodul af ringen A (det vil sige et ideal), A er en ring af principielle idealer, så dette ideal er genereret af et element; hvis idealet er nul — falder N sammen med N 1 , men hvis det genereres af elementet k , er det nok at tilføje én vektor til N 1 -grundlaget, hvis sidste koordinat er lig med k . Nu kan vi skrive en matrix med elementer fra A svarende til indlejringen af N i M : i matrixens kolonner skriver vi koordinaterne for basisvektorerne N i en eller anden basis M . Lad os beskrive algoritmen til at bringe denne matrix til en diagonal form ved elementære transformationer . Ved at bytte rækker og kolonner flytter vi elementet a , der ikke er nul, med den mindste norm til det øverste venstre hjørne . Hvis alle elementer i matricen er delelige med den, trækker vi den første række fra resten med en sådan koefficient, at alle elementer i den første kolonne (undtagen det første element) bliver nul; derefter trækker vi på samme måde den første kolonne fra og fortsætter til transformationerne af kvadratet, der er tilbage i nederste højre hjørne, hvis dimension er en mindre. Hvis der er et element b , der ikke er deleligt med a , kan vi reducere normens minimum over ikke-nul elementer i matricen ved at anvende den euklidiske algoritme på parret ( a , b ) (elementære transformationer gør det muligt for os at gøre dette ). Da normen er et naturligt tal, vil vi før eller siden komme til en situation, hvor alle elementer i matricen er delelige med en . Det er let at se, at i slutningen af denne algoritme, opfylder baserne M og N alle lemmaets betingelser.

Slut på beviset. Betragt et endeligt genereret modul T med et system af generatorer {e 1 , … e m }. Der er en homomorfi fra et gratis modul til dette modul, der kortlægger en basis til et system af generatorer. Ved at anvende homomorfi-sætningen på denne kortlægning får vi, at T er isomorf med faktoren . Lad os reducere baser og til formen af baser i lemmaet. Det er let at se det $A^m$ $A^m$ $A^m / \text{ker}f$ $A^m$ $\text{ker}f$

A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong A/(u_1) \oplus \ldots \oplus A/(u_k) \oplus A^{nk}

Hvert endeligt led her kan dekomponeres til et produkt af primære, da ringen A er faktoriel (se artiklen Kinesisk restsætning ). For at bevise det unikke ved denne nedbrydning er vi nødt til at overveje torsionsundermodulet (derefter beskrives dimensionen af den frie del i invariante termer som dimensionen af faktoren med hensyn til torsion), såvel som p -torsionsundermodulet for hver prime element p i ringen A . Antallet af led i formen (for alle n ) beskrives uvægerligt som dimensionen af undermodulet af elementer udslettet ved multiplikation med p som et vektorrum over et felt . $A/(p^n)$ $A/(p)$

Konsekvenser

Casen giver en klassificering af endeligt genererede abelske grupper . $R=\mathbb{Z}$

Lad T være en lineær operator på et endeligt-dimensionelt vektorrum V over et felt K . V kan betragtes som et modul over (dets elementer kan faktisk ganges med skalarer og med T ), finit-dimensionalitet indebærer endelig generering og fravær af en fri del. Den sidste invariante faktor er det minimale polynomium , og produktet af alle invariante faktorer er det karakteristiske polynomium . Ved at vælge standardformen af matrixen for operatoren T , der virker på rummet , får vi følgende former for matricen T på rummet V : $K[T]$ $K[T]/p(T)$

invariante faktorer + ledsagende matrix giver Frobenius normalform
primære faktorer + Jordan-celle giver en Jordan-normalform (i det tilfælde, hvor feltet K er algebraisk lukket ).

Se også

Smith normal form

Noter

Bourbaki N. Algebra. Del 3. Moduler, ringe, formularer. - M .: Nauka, 1966. Kapitel VII.
Vinberg E. B. , Algebrakursus. - M .: Publishing House'Factorial Press, 2001.
P. Aluffi. Algebra: Kapitel 0 (Graduate Studies in Mathematics) - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-82184-781-3 .
Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra , New York: Springer, s. 218–226, afsnit IV.6: Moduler over et principielt ideelt domæne, ISBN 978-0-387-90518-1