Konjugeret variable

Adjoint variable er par af variabler, der er matematisk relateret til hinanden gennem Fourier-transformationen . [1] [2] eller, generelt set, ved hjælp af Pontryagin-dualitet . Dualitetsforholdet fører naturligvis til en usikkerhedsrelation - kaldet Heisenberg-usikkerhedsprincippet i fysik - mellem dem. I matematiske termer er de konjugerede variabler en del af det symplektiske grundlag , og usikkerhedsrelationen svarer til den symplektiske form . Derudover er adjoint variable relateret ved hjælp af Noethers sætning , som siger, at hvis egenskaberne af et lukket fysisk system er invariante under en ændring i en af de adjoint variable, så er den anden adjoint variabel i det fysiske system bevaret over tid.

Eksempler

Der er mange typer kanonisk konjugerede variable:

Tid og frekvens : Jo længere en musikalsk tone varer, jo mere præcist kender vi dens frekvens, men den varer længere og er derfor en mere distribueret begivenhed. Omvendt er en meget kort node mere lokaliseret i tid, men dens frekvens kan ikke bestemmes særlig præcist (bliver blot et klik). [3]
Doppler-effekt : Jo mere nøjagtigt vi kender afstanden til målet, jo mindre præcist kender vi hastigheden af dets tilgang eller fjernelse og omvendt. I dette tilfælde er den todimensionelle funktion af tid og frekvens kendt som radar-usikkerhedsfunktionen eller "radar-usikkerhedsdiagram".
Overfladeenergi: γ d A ( γ = Overfladespænding ; A = overfladeareal).
Elastisk forlængelse: F d L ( F = elastisk kraft; L forlængelseslængde).

Afledte handlinger

I klassisk fysik er afledte handlinger konjugerede variabler med en værdi i forhold til hvilken differentiering udføres. I kvantemekanikken er de samme par af variable forbundet med Heisenbergs usikkerhedsprincip .

" Energien " af en partikel ved en bestemt begivenhed er den negative afledte af handlingen langs den partikels bane, der slutter ved den begivenhed, i forhold til " tidspunktet " for begivenheden.
En partikels " momentum " er derivatet af dens virkning i forhold til dens " position ".
En partikels " vinkelmomentum " er derivatet af dens virkning i forhold til dens "vinkelposition".
En partikels "massemoment" ( ) er den negative afledte af dens virkning i forhold til dens " hastighed ". $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$
Det " elektriske potentiale " ( , elektrisk spænding ) ved en begivenhed er den negative afledte af virkningen af det elektromagnetiske felt med hensyn til tætheden af den (frie) " elektriske ladning " ved den begivenhed. $\varphi$
Det " elektromagnetiske feltvektorpotentiale " ("A"') ved en hændelse er derivatet af den elektromagnetiske feltvirkning med hensyn til tætheden af den (frie) " elektriske strøm " ved den hændelse.
Det " elektriske felt " ("E") ved en hændelse er derivatet af virkningen af det elektromagnetiske felt i forhold til " polariseringen " af dielektrikumet ved den hændelse.
Den " magnetiske induktion " ("B") af en hændelse er derivatet af virkningen af det elektromagnetiske felt i forhold til " magnetiseringen " af den hændelse.
Det Newtonske " gravitationspotentiale " ved en begivenhed er den negative værdi af den afledte af virkningen af det Newtonske gravitationsfelt i forhold til " massetætheden " ved den begivenhed.

Kvantemekanik

I kvantemekanik realiseres konjugerede variabler som par af observerbare, hvis operatorer ikke pendler. I konventionel terminologi kaldes de "inkompatible observerbare". Betragt som et eksempel målbare størrelser givet ved koordinat og momentum . I den kvantemekaniske formalisme svarer to observerbare til operatorer og , som nødvendigvis opfylder den kanoniske kommuteringsrelation : $\left(x\right)$ $\left(p\right)$ $x$ $s$ ${\widehat {x))$ ${\widehat {p\,))$

[ x ^ , s ^ ] = x ^ s ^ − s ^ x ^ = jeg ℏ {\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar } $[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar$

For hver ikke-nul kommutator af to operatorer er der et "usikkerhedsprincip", som i vores nuværende eksempel kan udtrykkes som:

Δ x Δ s ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2} $\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

I denne fuzzy notation , og betegne "usikkerhed" i den samtidige specifikation og . En mere præcis og statistisk fuldstændig opgørelse, inklusive standardafvigelsen , lyder: $\Delta x$ $\Delta s$ $x$ $s$ $\sigma$

σ x σ s ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2} $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$

Mere generelt, for alle to observerbare og svarende til operatørerne og , er det generaliserede usikkerhedsprincip givet af: $EN$ $B$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {B}}$

σ EN 2 σ B 2 ≥ ( en 2 jeg ⟨ [ EN ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}} ${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$

I overensstemmelse med den kan man vælge to operatorer, der hver tildeler en matematisk form, således at parret opfylder den. Dette valg af operatorer afspejler en af mange ækvivalente (isomorfe) repræsentationer af en fælles fundamental algebraisk struktur, der beskriver kvantemekanikken (Heisenberg Lie-algebraen , den tilsvarende gruppe kaldes Heisenberg-gruppen ). ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_3$

Væskemekanik

I Hamiltoniansk væskemekanik og kvantehydrodynamik er selve " handlingen " (eller "hastighedspotentialet") den konjugerede variabel af " densiteten " (eller " sandsynlighedsdensiteten " ).

Se også

Kanoniske koordinater

Noter

↑ Heisenberg - Kvantemekanik, 1925-1927: Usikkerhedsrelationerne . Hentet 10. maj 2022. Arkiveret fra originalen 22. december 2015. (ubestemt)
↑ Nogle bemærkninger om tid og energi som konjugerede variable
↑ "The Chirplet Transform", IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), november 1995, s. 2745–2761 . Hentet 10. maj 2022. Arkiveret fra originalen 1. april 2022. (ubestemt)