Adjoint operatør

Adjoint-operatoren er en generalisering af begrebet en hermitisk konjugeret matrix for uendelig-dimensionelle rum.

Lineær algebra

En transformation kaldes konjugeret til en lineær transformation hvis for nogen vektorer og ligheden gælder . Hver transformation har en enkelt konjugeret transformation. Dens matrix i basis bestemmes ud fra transformationsmatricen af formlen, hvis rummet er euklidisk , og af formlen i enhedsrummet . her angiver Gram-matrixen for det valgte grundlag. Hvis det er ortonormalt , har disse formler formen og hhv. $\varphi ^{*}$ $\varphi$ $x$ $y$ $\left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$ $A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma$ $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ $\Gamma$ $A^{*}=A^{T}$ $A^{*}={\bar {A}}^{T}$

Generelt lineært rum

Lade være lineære rum og være konjugeret lineære rum (rum af lineære funktionaler defineret på ). Så for enhver lineær operator og enhver lineær funktional defineres en lineær funktional - en superposition af og : . Kortlægningen kaldes den adjoint lineære operator og er betegnet med . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $g$ $EN$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Kort sagt, hvor er virkningen af den funktionelle på vektoren . $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$ $(B,x)$ $B$ $x$

Topologisk lineært rum

Lade være topologiske lineære rum , og være konjugeret topologiske lineære rum (rum af kontinuerlige lineære funktionaler defineret på ). For enhver kontinuerlig lineær operator og enhver kontinuerlig lineær funktional defineres en kontinuerlig lineær funktional - superpositionen og : . Det er nemt at kontrollere, at kortlægningen er lineær og kontinuerlig. Det kaldes adjoint operator og er også betegnet . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $g$ $EN$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Banach space

Lad være en kontinuerlig lineær operator, der handler fra et Banach-rum til et Banach-rum [1] og lad være de dobbelte rum . Lad os betegne . Hvis er fast, så er en lineær kontinuerlig funktionel i . Således er en lineær kontinuerlig funktionel fra defineret for , derfor er en operatør defineret sådan, at . $A\colon X\to Y$ $x$ $Y$ $X^{*},Y^{*}$ $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$ $f$ $[Axe,f]$ $X,[Axe,f]\i X^{*}$ $\forall f\in Y^{*}$ $X^{*}$ $A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}$ $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$

$A^{*}$ kaldes adjoint operator . På samme måde kan man definere en adjoint operator til en ubegrænset lineær operator, men den vil ikke blive defineret på hele rummet.

For følgende egenskaber er sande: $A^{*}$

Operatøren er lineær. $A^{*}$
Hvis er en lineær kontinuerlig operator , så også en lineær kontinuerlig operator. $EN$ $A^{*}$
Lad være nuloperatoren og vær enhedsoperatoren . Så . $O$ $E$ $O^{*}=O,E^{*}=E$
$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ .
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}$ .
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ .
$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ .

Hilbert space

I et Hilbert-rum giver Riesz-sætningen en identifikation af rummet med dets adjoint, derfor for en operator bestemmer lighed adjoint-operatoren . Her er det skalære produkt i rummet . $H$ $A\kolon H\til H$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ $A^{*}\colon H\to H$ $(x,y)$ $H$

Se også

Hermitian operatør

Noter

↑ Rum antages at være komplekse $X,Y$

Litteratur

Shefer H. Topologiske vektorrum. — M .: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funktionsanalyse og dens anvendelser i kontinuummekanik. - M . : Vuzovskaya bog, 2000 . - 320 sek.
Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Funktionel analyse / redaktør S. G. Kerin . — 2., revideret og suppleret. — M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Matematisk referencebibliotek).
Halmos P. Finite-dimensional vektorrum = Finite-dimensional vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matematisk analyse (funktioner af én variabel), del 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 s.
Weinberg M. M. Funktionsanalyse. - M .: Uddannelse, 1979. - 128 s.