Egen acceleration

Iboende acceleration [1] i relativitetsteorien er den fysiske acceleration (dvs. målbar acceleration, for eksempel ved hjælp af et accelerometer ) oplevet af et objekt. Det er således accelerationen i forhold til frit fald eller en inertiobservatør, der momentant er i ro i forhold til det objekt, der måles. Tyngdekraften forårsager ikke sin egen acceleration, da tyngdekraften virker på inertiobservatøren på en sådan måde, at dens egen acceleration ikke er fast. Konsekvensen er, at alle inertiobservatører altid har nul iboende acceleration.

Indre acceleration står i kontrast til acceleration , som afhænger af valget af koordinatsystem og derfor af observatørens valg.

I standardinertialkoordinater af den specielle relativitetsteori for ensrettet bevægelse er egen acceleration hastigheden for ændring af egen hastighed i forhold til koordinattiden.

I en inertiramme, hvor objektet øjeblikkeligt er i hvile, giver den korrekte 3-accelerationsvektor, kombineret med en nultidskomponent, objektets 4-acceleration , hvilket gør størrelsen af den iboende acceleration Lorentz invariant . Konceptet er således nyttigt i følgende tilfælde: (i) med accelererede billeder, (ii) ved relativistiske hastigheder og (iii) i buet rumtid.

I en accelererende raket efter opsendelse, eller endda i en raket ved opsendelse, er den iboende acceleration den acceleration, som de ombordværende mærker og beskrives som en g -kraft (som ikke er en kraft, men blot en acceleration, se denne artikel for en mere detaljeret diskussion af indre acceleration) kun produceret af køretøjer. [2] "Tyngeaccelerationen" ("tyngdekraften") bidrager aldrig til sin egen acceleration under nogen omstændigheder, hvilket betyder, at den egen acceleration observeret af observatører, der står på jorden, skyldes en mekanisk kraft fra jorden , og ikke pga. til "kraften eller "accelerationen" af tyngdekraften. Hvis jorden fjernes, og observatøren får lov til at falde frit, vil observatøren opleve en koordinatacceleration, men ingen selvacceleration og derfor ingen g-kraft. Normalt oplever objekter i et sådant fald, eller generelt i enhver ballistisk bane (også kaldet inertibevægelse), inklusive objekter i kredsløb, ikke deres egen acceleration (forsømmer små tidevandsaccelerationer for inertibaner i gravitationsfelter). Denne tilstand er også kendt som " vægtløshed " ("nul-g") eller "frit fald".

Den indre acceleration reduceres til koordinaten i inertikoordinatsystemet i flad rumtid (dvs. i fravær af tyngdekraft), forudsat at objektets indre hastighed [3] (moment pr. masseenhed) er meget mindre end lysets hastighed c . Det er kun i sådanne situationer, at koordinataccelerationen fuldt ud mærkes som en overbelastning (det vil sige dens egen acceleration, også defineret som at skabe en målbar vægt).

I situationer, hvor der ikke er nogen tyngdekraft, men det valgte koordinatsystem ikke er inerti, men accelererer med observatøren (f.eks. den accelererede referenceramme for den accelererende raket eller en ramme fastgjort på objekter i en centrifuge), så er g-kræfterne og de tilsvarende korrekte accelerationer observeret af observatører i disse koordinatsystemer, er forårsaget af mekaniske kræfter, der modstår deres vægte i sådanne systemer. Denne vægt er til gengæld skabt af inertikræfter , som optræder i alle sådanne accelererede koordinatsystemer, svarende til vægten skabt af "tyngdekraften" for objekter, der er fastgjort i rummet i forhold til et graviterende legeme (som på overfladen af Jorden).

Den samlede (mekaniske) kraft, der beregnes til at forårsage sin egen acceleration af en masse i hvile i et koordinatsystem, der har sin egen acceleration, kaldes ifølge Newtons lov F = m a egen kraft . Som det ses ovenfor, er selvkraften lig med reaktionskraften, som måles som objektets "arbejdsvægt" (dvs. dets vægt målt af en enhed som en fjederbalance i et vakuum, i objektets koordinatsystem). En genstands egen styrke er således altid numerisk lig og modsat i retning af den målte vægt.

Eksempler

Når du holder på en karrusel, der roterer med en konstant vinkelhastighed , oplever du en radial intern ( centripetal ) selvacceleration på grund af samspillet mellem håndsvinget og hånden. Dette annullerer den radialt udadgående geometriske acceleration forbundet med den roterende referenceramme . Denne udadgående acceleration (i form af den roterende referenceramme) vil blive koordinataccelerationen, når du slipper dine hænder, hvilket resulterer i en geodætisk flyvning med nul iboende acceleration. Naturligvis ser uaccelererede observatører i dette øjeblik i deres referenceramme ganske enkelt, hvordan dine ligestillede egne og koordinerede accelerationer forsvinder.

På samme måde, når vi står på en ikke-roterende planet (og på jorden), oplever vi vores egen opadgående acceleration på grund af den normale (vinkelret på overfladen) kraft, som jorden udøver på vores skosål. Den neutraliserer den geometriske acceleration i nedadgående retning på grund af valget af koordinatsystemet (den såkaldte overfladereferenceramme (engelsk shell frame) [4] ). Denne nedadgående acceleration bliver koordineret, hvis vi ved et uheld træder ud af en klippe ind i en bane med nul iboende acceleration (geodætisk eller regnreferenceramme).

Bemærk, at geometriske accelerationer (på grund af det affine forbindelsesudtryk i det kovariante afledte koordinatsystem ) virker på hvert gram af vores væsen , mens korrekte accelerationer normalt er forårsaget af en ekstern kraft. Indledende fysikkurser behandler ofte nedadgående (geometrisk) gravitationsacceleration som en konsekvens af gravitationskraften . Dette, sammen med en omhyggelig undgåelse af ikke-accelererede referencerammer, giver dem mulighed for at betragte koordinaten og den korrekte acceleration som én og samme enhed.

Selv når et objekt opretholder en konstant korrekt acceleration i lang tid i flad rumtid, vil observatører i hvile se objektets koordinatacceleration falde, når dets koordinathastighed nærmer sig lysets hastighed. Ikke desto mindre forbliver væksthastigheden af objektets egen hastighed konstant.

Forskellen mellem egen og koordineret acceleration [5] gør det således muligt at spore oplevelsen af accelererede rejsende fra forskellige ikke-newtonske perspektiver. Disse perspektiver omfatter sådanne tilfælde som accelererede koordinatsystemer (f.eks. karruseller), høje hastigheder (når korrekte tider og koordinattider er forskellige) og buet rumtid (f.eks. forbundet med tyngdekraften på Jorden).

Klassiske apps

Ved lave hastigheder i inertikoordinatsystemer i newtonsk fysik er den korrekte acceleration lig med koordinataccelerationen a =d 2 x /dt 2 . Som nævnt ovenfor adskiller det sig dog fra koordinatacceleration, hvis man vælger (mod Newtons råd) at beskrive verden i form af et accelereret koordinatsystem, såsom en fartbil, eller en sten, der snurrer i en slangebøsse. Hvis du er enig i, at tyngdekraften er forårsaget af krumningen af rum-tid (se nedenfor), i et gravitationsfelt , adskiller den korrekte acceleration sig fra koordinaterne.

For eksempel vil et objekt, der er udsat for fysisk eller indre acceleration a o , blive observeret af observatører i et koordinatsystem, der er udsat for en konstant acceleration en ramme med koordinatacceleration:

{\vec {a}}_{acc}={\vec {a}}_{o}-{\vec {a}}_{frame}

Således, hvis et objekt accelererer med en referenceramme, vil observatører, der er forankret i denne referenceramme, slet ikke se nogen acceleration.

På samme måde vil et objekt, der udsættes for fysisk eller iboende acceleration ao , blive observeret af observatører i en ramme, der roterer med en vinkelhastighed ω som havende en koordinatacceleration:

{\vec {a}}_{rot}={\vec {a}}_{o}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega}}\times {\ vec {r)))-2{\vec {\omega }}\ gange {\vec {v}}_{rot}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\ gange {\vec {r))

I ligningen ovenfor er der tre geometriske accelerationsled på højre side. Den første er "centrifugal acceleration", afhænger kun af den radiale position "r", og ikke af hastigheden af vores objekt, den anden er "Coriolis acceleration", afhænger kun af objektets hastighed i den roterende referenceramme v rot , men ikke på dens position, og det tredje led - "Euler-acceleration", afhænger kun af positionen og ændringshastigheden af referencerammens vinkelhastighed.

I hvert af disse tilfælde er den fysiske eller indre acceleration forskellig fra koordinataccelerationen, da sidstnævnte kan påvirkes af vores valg af koordinatsystem, såvel som de fysiske kræfter, der virker på objektet. De komponenter af koordinatacceleration, der ikke er forårsaget af fysiske kræfter (såsom direkte kontakt eller elektrostatisk tiltrækning) tilskrives ofte (som i Newtons eksempel ovenfor) til kræfter, der: (i) virker på hvert gram af en genstand, (ii) forårsager masseuafhængige accelerationer og (iii) eksisterer ikke fra alle synspunkter. Sådanne geometriske (eller ukorrekte) kræfter omfatter Coriolis -kræfter , Euler-kræfter , g -kræfter , centrifugalkræfter og (som vi vil se nedenfor) tyngdekraften .

Set fra en del af flad rum-tid

Forholdet mellem korrekt acceleration og koordinaten en i en given del af den flade rumtid følger [6] af ligningen for metrikken for den flade rumtid Minkowski ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2 — (d x ) 2 . Her bestemmer en enkelt referenceramme af målere og synkroniserede ure hvilerammens position x og hvilerammetiden t , uret for det bevægelige objekt bestemmer det korrekte tidspunkt τ , og "d" foran koordinaten angiver en uendelig lille ændring. Disse relationer gør det muligt at løse forskellige problemer med "teknik af enhver hastighed", dog kun ud fra synspunktet om den udvidede referenceramme for observatørens hvile, hvor samtidighed er defineret.

Acceleration i (1+1)D

I det ensrettede tilfælde, når objektets acceleration er parallel eller antiparallel med dets hastighed ved observatørens midtersnit, er den korrekte acceleration α og koordinataccelerationen a relateret til [7] via Lorentz-faktoren γ for α =γ 3 a . Derfor er ændringen i egen hastighed w=dx/dτ integralet af egen acceleration over tid af systemet i hvile t, det vil sige Δ w = α Δ t for konstanten α . Ved lave hastigheder bunder dette i den velkendte sammenhæng mellem koordinathastigheden og koordinataccelerationstiden, altså Δ v = a Δ t .

For konstant ensrettet korrekt acceleration er der lignende forhold mellem hastigheden η og den forløbne korrekte tid Δ τ , såvel som mellem Lorentz-koefficienten γ og den tilbagelagte afstand Δ x . Nemlig:

\alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t))=c{\frac {\Delta \eta}{\Delta \tau ))=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x))

hvor forskellige hastighedsparametre er relateret af relationen

\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}} \right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)

Disse ligninger beskriver nogle af konsekvenserne af accelereret bevægelse ved høj hastighed. Forestil dig for eksempel et rumfartøj, der kan accelerere sine passagerer med 1 g (10 m/s 2 eller ca. 1,0 lysår pr. år i kvadrat) halvvejs til deres destination, og derefter decelerere dem med 1 g for den resterende halvvejs for at give jordens kunstig tyngdekraft fra punkt A til punkt B. [8] [9] For hvilerammeafstande Δ x AB forudsiger den første ligning ovenfor en gennemsnitlig Lorentz-faktor γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Derfor vil tur-retur-tiden på fartøjschefens ur være Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), hvor den forløbne tid på hvilesystemets ur vil være Δ t = 4( c / α ) sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Dette imaginære rumfartøj kunne tilbyde ture til og fra Proxima Centauri , der tager omkring 7,1 år i henhold til rejsendes timer (~12 år ifølge Jordens tid), rejser til det centrale sorte hul på omkring 40 år (~ 54.000 år ifølge Jordens tid) og rejser til Andromedagalaksen , der varer omkring 57 år (over 5 millioner år med jordur). Desværre er 1g acceleration gennem årene lettere sagt end gjort, som illustreret af figuren til højre, der viser forholdet mellem maksimal nyttelast og affyringsvægt.

Noter

↑ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (kun 1. udg. 1966) Spacetime Physics (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , Kapitel 1 Øvelse 51 side 97-98: "Clock paradox III" ( pdf Arkiveret 21. juli 2017 på Wayback Machine ).
↑ Relativitet af Wolfgang Rindler, s. 71
↑ Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Introduktion til relativitetsteorien (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Arkiveret 30. juli 2012 på Wayback Machine , afsnit 7-3
↑ Edwin F. Taylor og John Archibald Wheeler (2000) Udforskning af sorte huller (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
↑ jf. CW Misner, KS Thorne og JA Wheeler (1973) Gravitation (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , afsnit 1.6
↑ P. Fraundorf (1996) "A one-map two-clock tilgang til undervisning i relativitet i indledende fysik" ( arXiv:physics/9611011 )
↑ A. John Mallinckrodt (1999) Hvad sker der, når a*t>c? Arkiveret fra originalen den 30. juni 2012. (AAPT Summer Meeting, San Antonio TX)
↑ E. Eriksen og Ø. Grøn (1990) Relativistisk dynamik i ensartet accelererede referencerammer med anvendelse på urparadokset, Eur. J Phys. 39 :39-44
↑ C. Lagoute og E. Davoust (1995) Den interstellare rejsende, Am. J Phys. 63 :221-227