Simpel kategori

En simplicial kategori (også simplex-kategori , ordinalkategori ) [1] er en kategori af ikke-tomme endelige ordtaler , hvis morfismer er monotone funktioner . Det spiller en vigtig rolle i algebraisk topologi [2] og er grundlaget for sådanne konstruktioner som det simple objekt og det simple sæt .

En forenklet kategori (nogle gange bruges notationen [3] ) er konstrueret ud fra objekter af formen , hvor er et naturligt tal , og morfismer som følger af . Med andre ord er objekterne i den simple kategori de endelige ordenstal , og morfismerne er ikke-strengt monotone funktioner mellem dem. Ordinalen er det oprindelige objekt for kategorien og er terminalen . $\Delta$ $\mathbf {Ord}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\))$ $n$ $f:[n]\to [n']$ $i\leqslant j$ $f(i)\leqslant f(j)$ $[0]$ $[1]$

Egenskaber

Enhver morfisme af en simpel kategori kan genereres af en sammensætning af morfismer [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\til [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\til [n]

defineret som følger:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}

(øgende injektiv kortlægning, "lækker" ),

jeg

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}

(en ikke-aftagende surjektiv mapping, der tager en værdi to gange).

jeg

Desuden er der en unik repræsentation for alle: $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$

f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n- s+1}\sigma _{j_{t}}^{mt}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}

hvor ,, . _ $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$ $n=m-t+s$

Disse morfismer opfylder følgende relationer:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, hvis ,

i<j

\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}

, hvis ,

i\leqslant j

\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}

Disse relationer bestemmer entydigt morfismer og . $\delta$ $\sigma$

Relaterede definitioner

Ordinal addition er en bifunctor defineret på ordenstal som almindelig addition: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

[n]+[n']=[n+n']

og for morfismer og i henhold til følgende skema: $f:[n]\to [n']$ $g:[m]\to [m']$

(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\end{cases}}

En simpel kategori med ordinal addition danner en strengt monoidal kategori .

Applikationer bruger også en udvidet simplicial kategori , en simplicial kategori suppleret med en ordinal : . Nogle gange kaldes en udvidet simplicial kategori en algebraisk simplicial kategori , i hvilket tilfælde den kaldes en topologisk . ${\displaystyle \Delta _{+))$ $[-1]=\varnothing$ $\Delta _{+}=\Delta \kop [-1]$ $\Delta$

Noter

↑ Nogle gange kaldes et simpelt objekt fra kategorien små kategorier for en simpel kategori . Derudover kaldes nogle gange forenklet berigede kategorier på samme måde - kategorier beriget over kategorien af forenklede sæt . Hvis der er en term "simpel kategori" for i forbindelse med sådanne konstruktioner , forsøger de at undgå at bruge alternative udtryk eller kun en betegnelse. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , s. 204.
↑ Hvor ofte betegnes også kategorien for alle lineært ordnede sæt, hvori den simple kategori er en komplet underkategori $\mathbf {Ord}$
↑ Simplicial object - Encyclopedia of Mathematics artikel . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Litteratur

McLane S. Kapitel 7. Monoider // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. Brøkkategorier og homotopi-teori = Brøkregning og Homotopi-teori / Oversat fra engelsk af M. M. Postnikova . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 s.