Beriget kategori

En beriget kategori i kategoriteori er en generalisering af kategoribegrebet , en konstruktion, hvor sættet af morfismer mellem to objekter erstattes af et objekt af en vilkårlig monoid kategori . Brugen af en sådan forestilling er baseret på den observation, at i mange praktiske anvendelser har sæt af morfismer yderligere struktur. For at reproducere den associative operation af sammensætning af morfismer i en almindelig kategori, skal kategorien, som morfismerne er taget fra, have en (associativ) binær operation med identitetselementet, det vil sige i det mindste have strukturen af en monoidal kategori .

En beriget kategori, hvis morfismer tilhører den monoide kategori , kaldes en beriget kategori over , eller -kategori. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Definition

Lad være en monoidal kategori . Så består den berigede kategori over af: $({\mathcal {M)),\nogle gange ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )$ $C$ ${\mathcal {M}}$

klasse -objekter , $Ob(C)$ ${\mathcal C}$
kategoriobjekter for hvert par objekter , $C(a,b)$ ${\mathcal {M}}$ $a,b\in Ob(C)$
pil ind , som vælger en enhed for hvert objekt , $\mathrm {id} _{a}:I\to C(a,a)$ ${\mathcal {M}}$ $a\in Ob(C)$
pile ind , der angiver sammensætningen for hver tripel af objekter , $\circ _{abc}:C(b,c)\nogle gange C(a,b)\til C(a,c)$ ${\mathcal {M}}$ $a,b,c\in Ob(C)$

med yderligere egenskaber udtrykt ved tre kommutative diagrammer. Det første diagram angiver sammensætningens associativitet:

Det andet og tredje diagram svarer til enhedens egenskaber:

Eksempler på berigede kategorier

Almindelige kategorier er kategorier beriget med overkategorien af sæt med det kartesiske produkt som den monoide operation. $(\mathbf {Set} ,\times ,\{\cdot \})$
2-kategorier er kategorier beriget med overkategorien af små kategorier , med en monoid struktur givet af produktet af kategorier . $\mathbf {Kat}$
Lokalt endelige kategorier er kategorier beriget med overkategorien af endelige mængder med et kartesisk produkt. $(\mathbf {FinSet} ,\times )$
En forudbestilling kan ses som en beriget kategori over en kategori med to elementer og en morfisme. Kategorien kan fortolkes som en pil falsk → sand , så er den monoide operation en konjunktion, og sand er identitetselementet; parret vurderes til sand, hvis . Alle nødvendige aksiomer følger af transitivitet og refleksivitet. ${\mathbf 2}$ ${\mathbf 2}$ $(a,b)$ $a\leq b$
Præadditive kategorier er kategorier beriget med overkategorien af Abelske grupper med tensorprodukt. $(\mathbf {Ab} ,\otimes )$

Forbindelse med monoide funktorer

Hvis der er en monoidal funktion fra til , så kan enhver kategori beriget over betragtes som en kategori beriget over . Hver monoidal kategori har en monoidal funktion , så enhver beriget kategori er baseret på en almindelig kategori. I mange eksempler er funktoren fra en monoid kategori til en almindelig streng , og så kan en kategori beriget over betragtes som en almindelig kategori med tilføjet struktur. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {N))$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {N))$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}(I,{\mbox{-}})$ ${\mathcal {M}}$

Berigede funktioner

En beriget funktor er en generalisering af begrebet en almindelig funktor, nemlig en funktor, der bevarer den yderligere struktur af en beriget kategori.

Hvis og er kategorier beriget over , så er en -beriget funktor et kort, der tildeler hvert objekt et objekt og til hvert par af objekter en morfisme til : at tilfredsstille de berigede versioner af funktionsegenskaberne. Diagrammet skal nemlig pendle: $C$ $D$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$ $T:C\to D$ $C$ $D$ $a,b\in Ob(C)$ ${\mathcal {M}}$ $T_{ab}:C(a,b)\to D(T(a),T(b))$

som svarer til ligningen:

{\displaystyle T_{aa}\circ \operatørnavn {id} _{a}=\operatørnavn {id} _{T(a)))

hvor er en enhed . Dette er en analog af egenskaben af en almindelig funktionor . Diagrammet skal også pendle: $jeg$ ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{a})=\mathrm {id} _{F(a)))$

svarende til reglen: for almindelige funktorer. $F(fg)=F(f)F(g)$

Litteratur

Kelly, GM Basic Concepts of Enriched Category Theory // Genoptryk i teori og anvendelser af kategorier. - 2005. - Nej. 10 .
McLane S. Kapitel 7. Monoider // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Lawvere, F.W. Metriske rum, generaliseret logik og lukkede kategorier // Genoptryk i teori og anvendelser af kategorier. - 2002. - Nr. 1 .