Gauss-Manin forbindelsen

Med et bundt , hvis fibre er glatte varianter (eller glatte algebraiske varianter ), kan man forbinde et bundt med en flad forbindelse , kaldet Gauss-Manin-forbindelsen .

Definition

Lad være et bundt, hvis fibre er glatte manifolder. Overvej et vektorbundt med fibre . Med andre ord, i stedet for hvert blad hænger vi dets -th de Rham-kohomologi . Ifølge Ehresmanns sætning $Y\to X$ ${\displaystyle Y_{x))$ $E\to X$ $E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $k$ , glatte bundter er lokalt trivielle, således at man i et tilstrækkeligt lille basiskvarter kan identificere fibrene med hinanden, og som glatte sektioner erklære de sektioner, der svarer til glatte variationer af kohomologiklassen under trivialisering. Strengt taget har vi ikke defineret et bundt, men kun et bundt , men dette vil i sandhed være et bundt af sektioner af bundtet. $E$

For nemheds skyld, lad os et øjeblik antage, at lagene er kompakte. De Rham-kohomologien af en kompakt manifold er isomorf i forhold til singulære kohomologi , så hvert lag har et heltalskohomologigitter, der jævnt afhænger af punktet . Gauss-Manin-forbindelsen er defineret som den forbindelse, i forhold til hvilken de lokale sektioner, som på hvert punkt tager værdier i dette heltalsgitter, er flade. $H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R}$ ${\displaystyle E_{x))$ $x$

Beskrivelsen af Gauss-Manin-forbindelsen i form af plansektioner giver en bekvem måde at visualisere den på, men for dens eksistens er tilstedeværelsen af en heltalsstruktur på kohomologien absolut ikke nødvendig. Det indrømmer følgende beskrivelse. Vi vælger Ehresmann-forbindelsen i pakken $Y\to X$ $H\subset TY$ . Hvis - en slags sektion, kan det realiseres ved et sæt lukkede former . Den valgte Ehresmann-forbindelse giver os mulighed for at udvide den til en enkelt form og omdefinere den i retninger på tværs af lagene ved en betingelse for alle . Bemærk, at denne formular ikke skal lukkes. Vi definerer Gauss-Manin-forbindelsen som følger: . Her er et vilkårligt vektorfelt på basen, og er dets løft ved hjælp af Ehresmann-forbindelsen, det vil sige sektionen , som, når den projiceres på basen, bliver . At kontrollere, at dette er en veldefineret forbindelse (det vil sige, at en sådan Lie-afledt vil blive lukket i lagbegrænsningen, og denne operation opfylder Leibniz-identiteten) er ikke svært; det er lidt sværere at vise, at det ikke afhænger af valget af Ehresmann-forbindelsen. $s\in \Gamma (E)$ $\sigma _{x}\i \Omega ^{k}(Y_{x})$ $\sigma \in \Omega ^{k}(Y)$ $\iota _{h}\sigma =0$ $h\in H$ $\nabla$ $(\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Lie} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\ højre]\in H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $v$ ${\widetilde {v))$ $H$ $v$

Denne definition af Gauss-Manin-forbindelsen er elegant formuleret i form af differentielt graderede algebraer. Dette giver os mulighed for at overføre definitionen af Gauss-Manin-forbindelsen til ikke-kommutativ geometri : Getzler[1] , og Kaledin [2] konstruerede Gauss-Manin-forbindelsen på periodisk cyklisk homologi.

Ansøgning

Gauss-Manin-forbindelsen i den første kohomologi af en familie af elliptiske kurver med ligninger over en punkteret Riemann-kugle parametriseret af en kompleks parameter definerer en differentialligning kendt som Picard-Fuchs-ligningen $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz$ $\lambda$ . Gauss overvejede en lignende ligning for en familie af kurver ; en generel beskrivelse af sådanne ligninger i det tilfælde, hvor basen er en algebraisk kurve, blev givet af Manin [3] , og i det generelle tilfælde af Grothendieck [4] . Han ejer navnet "Gauss-Manin-forbindelsen", samt en abstrakt algebraisk-geometrisk beskrivelse af denne forbindelse som en af pilene i Leray-spektralsekvensen $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$ for en passende stråle.

Gauss-Manin-forbindelsen bruges også i symplektisk geometri . Nemlig, lad være et bundt, hvis fibre er Lagrangian tori. Tangentrummet til bunden af et sådant bundt kan identificeres med noget underrum i rummet af sektioner af det normale bundt til fiberen, der hænger over dette punkt. Men for en lagrangisk undermanifold er det normale bundt isomorf i forhold til cotangensbundtet, så disse sektioner definerer differentielle 1-former på fiberen. Det viser sig, at disse former er lukkede, og deres kohomologiklasser er alle mulige første kohomologiklasser af fiberen. Således er tangentbundtet til bunden af et lagrangisk bundt isomorf til bundtet af første kohomologifibre og har derfor en kanonisk flad forbindelse, Gauss-Manin-forbindelsen. I mekanik har dette udsagn en konsekvens kendt som Liouville-Arnold-sætningen : for et Hamilton-system, der har lige så mange uafhængige integraler i involution som frihedsgrader, kan bevægelsesligningerne løses i kvadraturer. En holomorf version af Liouville-Arnold-sætningen definerer en flad monodromiforbindelse uden for en eller anden divisor på , bunden af et holomorft lagrangisk bundt på en hyperkähler-manifold $Y\to X$ $\mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ . Det mest illustrative tilfælde, hvor det samlede rum er en K3-overflade , lagene er elliptiske kurver, og bunden er en Riemann-kugle med 24 punkteringer, blev studeret af Kontsevich og Soibelman[5] .

Noter

↑ Arkiveret kopi (link ikke tilgængeligt) . Hentet 20. oktober 2018. Arkiveret fra originalen 26. marts 2015. (ubestemt)
↑ [https://web.archive.org/web/20181021024529/https://arxiv.org/abs/math/0702068v2 Arkiveret 21. oktober 2018 på Wayback Machine [math/0702068v2] Cyklisk homologi med koefficienter]
↑ Algebraiske kurver over felter med differentiering
↑ Om de Rham-kohomologien af algebraiske varianter . Hentet 20. oktober 2018. Arkiveret fra originalen 16. december 2018. (ubestemt)
↑ [https://web.archive.org/web/20200528162044/https://arxiv.org/abs/math/0406564 Arkiveret 28. maj 2020 på Wayback Machine [math/0406564] Affine strukturer og ikke-arkimedisk analyse mellemrum]