Liouville-Neumann-serien

Liouville-Neumann-serien i integralregning er en uendelig række svarende til løsningen af Fredholm-integralligningen med en kontinuerlig lille kerne. Opkaldt efter Joseph Liouville og Carl Neumann .

Få en række

Vi vil lede efter en løsning på Fredholm-ligningen

u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)

metode til successive tilnærmelser , indstilling : $u^{(0)}(x)=f(x)$

u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f( x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots

Det sidste udtryk i formlen er operatornotationen for integralet. Følgende lighed er verificeret ved metoden til matematisk induktion :

u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1 ,\;\ldots

Funktioner kaldes iterationer . Det kan påvises, at alle iterationer er kontinuerlige og begrænset til : $(K^{p}f)(x)$ $G$

\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\| K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0 ,\;1,\;\ldots ,

hvor er sættets mål , og . $\mathrm {mes} \,G$ $G$ $M=\max _{G}|K(x,\;y)|$

Det følger af dette skøn, at serien

\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,

kaldet Liouville-Neumann- serien , domineret af de numeriske serier

\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={ \frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G)),

konvergerer i cirklen , så for sådan konvergerer Liouville-Neumann-serien regelmæssigt ( absolut og ensartet ). Dette betyder, at successive tilnærmelser ved ensartet tendens til den ønskede funktion . $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$ $\lambda$ $u^{(p)}(x)$ $p\to \infty$ $u(x)$

Se også

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 . .