Ækvivalens

Ækvivalens er forholdet mellem to vilkårlige ( finite eller uendelige ) mængder , hvilket betyder, løst sagt, at det ene sæt indeholder det samme antal elementer som det andet. Finite mængder er ækvivalente, hvis og kun hvis de indeholder det samme antal elementer. For eksempel er sættet af traditionelle stjernetegn-konstellationer og sættet af kubekanter lige kraftfulde, da begge indeholder 12 elementer hver .

Begrebet ækvivalens, introduceret af Georg Cantor i 1878, udvider denne relation til uendelige mængder, og definitionen af det centrale begreb i mængdeteorien om en mængdes kardinalitet er baseret på det . Cantor definerede også en sammenligning af kardinaliteter - hvis to sæt ikke er ækvivalente, så er kardinaliteten af den ene af dem større end den af den anden ( valgaksiomet bruges i beviset ).

Definitioner

Definition 1 . En funktion defineret på et sæt og tager værdier i sættet kaldes en en-til-en korrespondance [1], hvis: $f,$ $EN$ $b,$

forskellige elementer svarer til forskellige elementer $EN$ $B;$
hvert element er tildelt et eller andet element . $B$ $EN$

Det er let at se, at en-til-en-korrespondancen som en funktion har en (en-til-en) omvendt funktion defineret på hele sættet $b.$

Definition 2 . To sæt kaldes ækvivalente , hvis det er muligt at etablere en en-til-en korrespondance mellem dem [2] . Variationer i terminologi: Ækvivalente mængder "har samme kardinalitet" eller "samme kardinalnummer ".

I den angivne korrespondance svarer ethvert element i hvert af de ækvivalente sæt til nøjagtigt et element i det andet sæt.

Forskellige forfattere har foreslået forskellige symboler for at angive ækvivalensen af sæt : $A,B$

A\sim B

|A|=|B|

A\approx B

{\bar {\bar {A}}}={\bar {\bar {B}}}

(Kantornotation)

Eq(A,B)

( Bourbaki notation ) # = #

EN

B

\mathrm {kort} (A)=\mathrm {kort} (B)

Længere i denne artikel er den første notation brugt.

Eksempler

Mængden af naturlige tal og mængden af lige tal er ækvivalente, da hvert naturligt tal har en en-til-en overensstemmelse med et lige tal. Alle mængder, der er ækvivalente , kaldes tællelige . Enhver uendelig delmængde kan tælles - for eksempel sættet af primtal . $\mathbb {N}$ $n$ $2n.$ $\N$ $\mathbb {N}$

Sættet af rationelle tal kan tælles, men sættet af reelle tal er allerede utælleligt. $\mathbb {R}$

Alle cirkler er lige store. For at verificere dette konstruerer vi for hver cirkel et polært koordinatsystem med origo i midten af cirklen og indsætter korrespondancepunkter med samme polære vinkel.

Den skitserede tilgang bruges ofte til at definere begrebet en uendelig mængde "ifølge Dedekind ": en mængde kaldes uendelig, hvis den er ækvivalent med sin egen delmængde (det vil sige en delmængde, der ikke er sammenfaldende med alt ) [3] . $EN$ $EN$

Egenskaber

Ækvivalensrelationen er en ækvivalensrelation :

Hvert sæt svarer til sig selv.
Hvis da $A\sim B,$ $B\sim A.$
Hvis og så $A\sim B$ $B\sim C,$ $A\sim C.$

Derfor opdeler ækvivalensrelationen mængderne i ikke-overlappende klasser af ækvipotente sæt. Denne opdeling gjorde det muligt for Cantor at definere begrebet kardinalitet af et sæt som en af sådanne klasser (i aksiomatisk mængdeteori introduceres begrebet kardinalitet noget anderledes, se artiklen om et sæts kardinalitet for detaljer ).

Det følger af Cantors sætning , at ingen mængde kan være ækvivalent i størrelse med mængden af dens delmængder (som altid har større magt) [4] .

Cantor-Bernstein-sætning : hvis af to mængder A og B hver er ækvivalent med en del af den anden, så er disse to mængder ækvivalente.

I 1877 opdagede Cantor en række usædvanlige konsekvenser af sin teori [5] .

Et endeligt segment af en ret linje er ækvipotent med hele den uendelige rette linje.
Hele planet, ethvert kvadrat på det og et linjestykke er ækvivalente.

Ækvivalensforhold er i overensstemmelse (med nogle begrænsninger) med mængdeteoretiske operationer [6] .

( kartesisk produkt ): $A\times B\sim B\times A;\ (A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)$
Hvis og så $A_{1}\sim B_{1}$ $A_{2}\sim B_{2},$ $(A_{1}\ gange A_{2})\sim (B_{1}\ gange B_{2})$
( Union ) Lad og skærer ikke med skærer ikke med Så $A_{1}\sim B_{1},A_{2}\sim B_{2},$ $A_{1}$ $A_{2},B_{1}$ $B_{2}.$ $(A_{1}\kop A_{2})\sim (B_{1}\kop B_{2})$

Litteratur

Vereshchagin N. K., Shen A. Begyndelsen af mængdeteori. - M. : MTSNMO, 2012. - ISBN 978-5-4439-0012-4 .
Kudryavtsev L. D. En-til-en korrespondance // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 690. - 1152 s.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Sæteori / Oversat fra engelsk af M. I. Kort, redigeret af A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 s.
Yashchenko IV Ækvivalens af mængder / Paradokser i teorien om mængder. M.: Publishing House of the Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2002.