Rektangulær funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. februar 2018; checks kræver 3 redigeringer .

Rektangulær funktion , enhedsimpuls , rektangulær impuls eller normaliseret rektangulær vindue er en stykkevis konstant funktion af følgende form:

\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac { 1}{2)),&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}

I denne definition, ved brudpunkterne, er værdien af funktionen defineret til at være 1/2, men det er muligt at definere disse værdier på en anden måde, for eksempel lig med 0 og andre muligheder.

En anden definition af en funktion er via Heaviside-funktionen : $\theta (t)$

\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \ venstre(t-{\frac {\tau }{2}}\højre),

for ellers:

\mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\ ret).

Værdien af en funktion ved brudpunkter afhænger af definitionen af værdien af Heaviside-funktionen ved dens brudpunkt.

Integral af en rektangulær funktion over hele linjen:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1.

Spektrum af en rektangulær funktion

Spektralbillede af en rektangulær funktion:

{\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\ omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega}{2}}\right),

\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left( \omega /2\right)}}

er den unormaliserede sinc-funktion .

Når du bruger den normaliserede sinc-funktion:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).

Konvolution af rektangulære funktioner

En trekantet funktion kan defineres som foldningen af to rektangulære funktioner:

\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.

På grundlag af uendelige foldninger af rektangulære funktioner, hvis længder aftager eksponentielt , opbygges atomfunktioner .

Se også