Trekantet funktion

Trekantet funktion , trekantet impuls er en speciel matematisk funktion , defineret som stykkevis lineær i formen:

\operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1-|t|;&|t|<1\\0&{\mbox{ellers}}\end{cases }},

eller gennem foldning af to rektangulære enhedsfunktioner :

{\begin{aligned}\operatørnavn {tri} (t)=\operatørnavn {rect} (t)*\operatørnavn {rect} (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\& =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau .\end{aligned))

Ansøgninger

Funktionen bruges i signalbehandling og radiokommunikation, der repræsenterer et idealiseret signal, der er en integreret del af mere komplekse reelle signaler. Bruges også i pulsbreddemodulation til transmission og detektering af digitale signaler.
Det bruges i spektralanalyse på et begrænset udsnit af data som en vinduesfunktion , i hvilket tilfælde det normalt kaldes "Bartlet-vinduet".
Lignende funktioner bruges i finite element-metoden som en førsteordens basis [1] .

Egenskaber

Fouriertransformation af en trekantet puls:

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\textrm {tri}}(t)e^{-i\ omega t}\,dt$ $={\sqrt {2\pi }}\venstre({\frac {{\textrm {sinc}}({\frac {\omega }{2\pi }})}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{2}$ $={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {tri} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt\ =\ \mathrm {sinc} ^{ 2}(f)

Disse resultater følger af Fourier-transformationen af en rektangulær funktion og foldningsegenskaben for Fourier-transformationerne af to signaler.

Se også

Noter

↑ Soloveichik Yu. G. , Royak M. E. , Persova M. G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .