Fibonacci Prime - Wiferich

Uløste problemer i matematik : Er der Fibonacci-Wieferich-primtal? Hvis ja, er der et begrænset antal af dem?

Fibonacci-Viferich- primtal (også Wall-Sun-Sun-primtal , eng. Wall-Sun-Sun ) er en af en bestemt type primtal, der angiveligt eksisterer , forbundet med Fibonacci-tallene . I 2013 er der ikke fundet et sådant tal.

Definition

Et primtal kaldes et Fibonacci-Wiferich-primtal, hvis det deler Fibonacci-tallet , hvor Legendre-symbolet er defineret som: $p>5$ $p^{2}$ ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)))$ $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}} \\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}

Tilsvarende definition: et primtal kaldes et Fibonacci-Wieferich primtal, hvis , hvor er det - . Lucas-tal . [1] :42 $s$ ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $L_{p}$ $s$

Eksistens

Der er en hypotese om, at der er uendeligt mange Fibonacci-Wiferich-primtal [2] , men fra 2013 er der ikke fundet et sådant primtal.

I 2007 viste Richard J. McIntosh og Eric L. Roettger , at hvis de eksisterer, skal de være større end 2⋅10 14 [3] , i 2010 bragte François Dorais ( François G. Dorais ) og Dominic Klyve grænsen til 9,7⋅ 10 14 [4] . I december 2011 blev der startet en søgning i PrimeGrid-projektet [5] , i december 2012 nåede PrimeGrid grænsen til 1,5⋅10 16 [6] . Fra april 2014 har PrimeGrid nået grænsen til 2.8⋅10 16 og fortsætter med at søge [6] .

Historie

Wall-Sun-Sun primtal er opkaldt efter Donald Wall [ 7 ] , Sun Zhìhóng og Sūn Zhìwěi , som viste i 1992 , at hvis det første tilfælde af Fermats sidste sætning er falsk for nogle primtal , så må det være en Fibonacci-Wieferich primtal [8] ] . Forud for beviset for Fermats sidste sætning af Andrew Wiles , var søgningen efter Fibonacci-Wieferich-primtal således beregnet til at finde et potentielt modeksempel . $p,$ $s$