Tilknyttet repræsentation af Lie-gruppen

En adjoint repræsentation af en Lie-gruppe er en lineær repræsentation af en Lie-gruppe på dens Lie-algebra . Normalt betegnet . $\operatørnavn {Annonce}$

Definition

Lad være en Lie gruppe . Tangentrummet ved identiteten af en gruppe er dens Lie-algebra . For hvert element skal du overveje forskellen $G$ $T_{e}G$ $\mathfrak g$ $a\i G$

{\displaystyle \operatorname {Ad} _{a}=d(\operatørnavn {Int} _{a})_{e))

intern automorfi

\operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.

Den resulterende handling kaldes en vedhæftet visning. $\operatorname {Ad} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g)))$

Noter

Hvis er en lineær gruppe i rummet , så $G\subset GL(V)$ $V$ $\operatorname {Ad} _{a}X=aXa^{-1},$

Differentialet af den adjoint repræsentation af en gruppe ved identiteten er den adjoint repræsentation af dens Lie algebra .

G

Billedet af en Lie-gruppe under den adjoint-repræsentation kaldes gruppens adjoint- gruppe og er betegnet med . $G$ $G$ $\operatorname {Ad} G$

Egenskaber

Kernen indeholder gruppens centrum . $\operatorname {Ker} \operatorname {Ad}$ $G$
- Desuden, i tilfælde af, når
er forbundet , og hovedfeltet har karakteristikken , falder sammen med midten. $G$ $0$

En forbundet semisimple Lie-gruppe er isomorf i forhold til dens tilstødende gruppe, hvis og kun hvis dens rødder genererer gruppen af rationelle karakterer af en maksimal torus ; centrum for sådan en gruppe er trivielt.

Hvis jordfeltet har karakteristika 0 og er forbundet , så er det entydigt bestemt af Lie-algebraen og kaldes nogle gange den adjoint gruppe, eller gruppen af interne automorfier, af Lie-algebraen .

G

\operatorname {Ad} G

\mathfrak g

\mathfrak g

Især hvis er

semisimple , så falder det sammen med den forbundne komponent af identiteten i .

G

\operatorname {Ad} G

\operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}

Se også

Vedhæftet repræsentation

Litteratur

Vinberg E. B., Onishchik A. L. Fundamentals of Lie group theory . - M . : VINITI , 1988. - S. 5-101. - (Resultater af videnskab og teknologi. Ser. "Moderne matematikproblemer. Fundamentale tendenser." Vol. 20).