Et polyeder er en forening af polyeder , der ikke nødvendigvis har samme dimension . I geometri er et polyeder (flertal af polyeder) en tredimensionel figur med flade polygonale flader, lige kanter og skarpe hjørner eller hjørner. Ordet polyhedron kommer fra det klassiske græske πολεεδρον, som poly- (stamme πολύς, "mange") + -hedron (form δδρα, "base" eller "sæde"). Et konveks polyeder er det konvekse skrog af et begrænset antal punkter, ikke alle i samme plan. Terninger og pyramider er eksempler på konvekse polyedre.
Et polyeder er et tredimensionelt eksempel på et mere generelt polyeder i et vilkårligt antal dimensioner.
Nedbrydningen af et polyeder til simplices kaldes et simplicialt kompleks .
Begrebet et polyeder bruges i teorien om simplicial homologi .
Nogle gange kaldes et polyeder for et almindeligt polyeder med dimension 3.
Konvekse polyedre er veldefinerede med flere tilsvarende standarddefinitioner. Den formelle matematiske definition af polyedre, som ikke behøver at være konvekse, har imidlertid været problematisk. Mange definitioner af "polyhedron" er blevet givet i specifikke sammenhænge, nogle mere stringente end andre, og der er ingen universel enighed om, hvilken man skal vælge. Nogle af disse definitioner udelukker former, der ofte betragtes som polyedre (såsom selvskærende polyedre), eller inkluderer former, der ofte ikke betragtes som gyldige polyedre (såsom stive legemer, hvis grænser ikke er mangfoldige). Som Branko Grünbaum bemærkede : "oprindelig synd i teorien om polyedre går tilbage til Euklid , og også gennem Kepler , Poinsot , Cauchy og mange andre. På alle stadier formåede forfatterne ikke at definere, hvad polyedre er." [en]
Der er dog generel enighed om, at et polyeder er et stivt legeme eller en stiv overflade, der kan beskrives ved dets hjørnepunkter (hjørnepunkter), kanter (linjesegmenter, der forbinder bestemte par af hjørnepunkter), flader (todimensionelle polygoner) og nogle gange dets tre -dimensionelt indre volumen. Man kan skelne mellem disse forskellige definitioner afhængigt af, om de beskriver et polyeder som et stift legeme, om de beskriver det som en overflade eller beskriver det mere abstrakt ud fra dets faldgeometri.
En almindelig og noget naiv definition af et polyeder er, at det er et stift legeme, hvis grænse kan dækkes af et endeligt antal planer, eller at det er et stivt legeme dannet som foreningen af et endeligt antal konvekse polyedre. [2] Naturlige forbedringer af denne definition kræver, at et stift legeme er afgrænset, har et forbundet indre og muligvis også en forbundet grænse. Fladerne af et sådant polyeder kan defineres som de forbundne komponenter af delene af grænsen inden for hvert af de planer, der dækker det, og kanterne og hjørnerne som linjestykkerne og punkter, hvor disse flader mødes. Polyedre defineret på denne måde inkluderer dog ikke selvskærende stjernepolyedre, deres flader kan ikke danne simple polygoner, og nogle kanter kan tilhøre mere end to flader. Definitioner baseret på ideen om en afgrænsende overflade snarere end en stiv krop er også almindelige. For eksempel definerer O'Rourke (1993) et polyeder som foreningen af konvekse polygoner (dens flader) placeret i rummet, således at skæringspunktet mellem to polygoner er et fælles toppunkt eller en kant eller et tomt sæt, og sådan at deres forening er en manifold. Hvis den flade del af en sådan overflade ikke i sig selv er en konveks polygon, kræver O'Rourke, at den underinddeles i mindre konvekse polygoner med flade dihedriske vinkler imellem dem. Noget mere generelt definerer Grünbaum et aoptisk polyhedron som en samling af simple polygoner, der danner en indlejret manifold, hvor hvert toppunkt falder ind på mindst tre kanter, og hver af de to flader skærer kun ved de fælles hjørner og kanter af hver af dem. [3] Cromwell polytoper giver en lignende definition, men uden begrænsningen på tre kanter pr. toppunkt. Igen dækker denne type definition ikke selvskærende polyedre. Lignende begreber ligger til grund for de topologiske definitioner af polyedre som underopdelinger af en topologisk manifold i topologiske skiver (flader), hvis parvise skæringspunkter skal være punkter (hjørnepunkter), topologiske buer (kanter) eller et tomt sæt. Der er dog topologiske polyedre (selv med alle trekantflader), som ikke kan realiseres som aoptiske polyedre.
En af de moderne tilgange er baseret på teorien om abstrakte polyedre. De kan defineres som delvist ordnede sæt, hvis elementer er hjørnerne, kanterne og flader af et polyeder. Et top- eller kantelement er mindre end et kant- eller forsideelement (i denne delrækkefølge), når toppunktet eller kanten er en del af kanten eller forsiden. Det er også muligt at inkludere et specielt nedre element af denne delrækkefølge (der repræsenterer det tomme sæt) og et øvre element, der repræsenterer hele polyederet. Hvis partielle ordenssektioner mellem elementer med tre niveauer fra hinanden (det vil sige mellem hvert flade- og bundelement og mellem det øverste element og hvert toppunkt) har samme struktur som den abstrakte repræsentation af en polygon, så bærer disse delvist ordnede sæt nøjagtig det samme information som et topologisk polyeder. Disse krav lempes dog ofte og kræver i stedet kun, at sektioner mellem elementer med to niveauer fra hinanden har samme struktur som den abstrakte repræsentation af et linjestykke. Det betyder, at hver kant indeholder to spidser og tilhører to flader, og at hver spids på en flade tilhører to kanter af den flade. Geometriske polyedre defineret på andre måder kan beskrives abstrakt på denne måde, men det er også muligt at bruge abstrakte polyedre som grundlag for at definere geometriske polyedre. En implementering af en abstrakt polytop opfattes normalt som en kortlægning af hjørnerne af den abstrakte polytop til geometriske punkter, således at punkterne på hver flade er koplanære.