Tvilling paradoks

Tvillingeparadokset er et tankeeksperiment , der forsøger at bevise inkonsistensen i den særlige relativitetsteori . Ifølge SRT , set fra "stationære" observatørers synspunkt, bremses alle processer i bevægelige objekter . På den anden side erklærer relativitetsprincippet ligheden mellem inertielle referencerammer . Ud fra dette opbygges et argument, der fører til en tilsyneladende modsætning. For klarhedens skyld betragtes historien om to tvillingebrødre. En af dem (herefter benævnt "rejsende") tager på en rumflyvning, den anden (herefter benævnt "hjemmekroppen") forbliver på Jorden. Efter flyveturen vender den rejsende tilbage til Jorden. Oftest er "paradokset" formuleret som følger:

Formulering I. Fra hjemmepersonens synspunkt har den bevægende rejsendes ur en langsom bevægelse af tiden , så når man vender tilbage, skal det være bag den hjemliges ur. På den anden side, i den rejsendes referenceramme, bevægede Jorden sig og accelererede, så hjemmekroppens ur må falde bagud. Faktisk er brødrene ligeværdige, derfor bør deres ure efter hjemkomst vise samme tid.

Men ifølge SRT , hvis Jordens gravitationspotentiale ikke tages i betragtning, så vil den rejsendes ur være bagud. I en sådan krænkelse af brødrenes tilsyneladende symmetri ses en modsigelse.

Historie

Effekten af relativistisk tidsudvidelse blev formuleret af Albert Einstein i hans papir fra 1905 som følgende teorem:

Hvis der er to synkront kørende ure ved punkt A, og vi flytter det ene af dem langs en lukket kurve med konstant hastighed, indtil de vender tilbage til A (hvilket vil tage f.eks. t sek), så vil dette ur, ved ankomst til A halte bagud, som forblev ubevægelig ... [1]

I form af et paradoks blev denne effekt formuleret i 1911 af Paul Langevin [2] . At give paradokset en visuel historie om rumrejser gjorde det populært, også i ikke-videnskabelige kredse. Langevin mente selv, at forklaringen på paradokset er forbundet med den rejsendes accelererede bevægelse , som er nødvendig for hans tilbagevenden til Jorden.

Den næste analyse af paradokset blev foretaget af Max von Laue i 1913 [3] . Fra hans synspunkt er det ikke stadierne af den rejsendes acceleration, der er vigtige, men selve det faktum, at han ændrer den inertimæssige referenceramme, når han vender tilbage til Jorden.

Efter skabelsen af den generelle relativitetsteori forklarede Albert Einstein i 1918 paradokset ved hjælp af, at gravitationsfeltet påvirker tidens gang [4] .

Faktisk går uret ifølge den generelle relativitetsteori hurtigere, jo større gravitationspotentialet er på det sted, hvor det er placeret.

Så, i 1921, blev en simpel forklaring baseret på invariansen af korrekt tid foreslået af Wolfgang Pauli [5] .

I nogen tid tiltrak "tvillingparadokset" næsten ingen opmærksomhed. I 1956-1959 udgav Herbert Dingle en række artikler [6] [7] og argumenterede for, at de kendte forklaringer på "paradokset" var forkerte. På trods af fejlslutningen i Dingles argument [8] [9] har hans arbejde forårsaget adskillige diskussioner i videnskabelige og populærvidenskabelige tidsskrifter [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . Som følge heraf er der udkommet en række bøger om dette emne. Af de russisksprogede kilder er det værd at bemærke bøgerne [18] [19] [20] [21] , samt artiklen [22] .

De fleste forskere anser ikke "tvillingparadokset" for at være en demonstration af relativitetsteoriens modsigelse, selvom historien om fremkomsten af visse forklaringer på "paradokset" og give det nye former ikke stopper den dag i dag [23 ] [24] [25] [26] [27] .

Klassifikation af paradoks forklaringer

Et paradoks svarende til "tvillingparadokset" kan forklares ved hjælp af to tilgange:

1) Afsløre oprindelsen af den logiske fejl i ræsonnementet, der førte til modsigelsen; 2) Udfør detaljerede beregninger af størrelsen af tidsudvidelseseffekten fra hver af brødrenes position.

Den første tilgang afhænger af detaljerne i formuleringen af paradokset. I afsnittene " De enkleste forklaringer " og "Den fysiske årsag til paradokset" vil der blive givet forskellige versioner af "paradokset", og der vil blive givet forklaringer på, hvorfor modsætningen faktisk ikke opstår.

Som en del af den anden tilgang udføres beregningerne af uraflæsningerne for hver af brødrene både fra en hjemmepersons synspunkt (hvilket normalt ikke er svært) og fra en rejsendes synspunkt. Da sidstnævnte ændrede sin referenceramme , er der forskellige muligheder for at tage højde for dette faktum. De kan betinget opdeles i to store grupper.

Den første gruppe omfatter beregninger baseret på den særlige relativitetsteori inden for rammerne af inertielle referencerammer. I dette tilfælde anses stadierne for accelereret bevægelse for at være ubetydelige sammenlignet med den samlede flyvetid. Nogle gange introduceres en tredje inerti-referenceramme, der bevæger sig mod den rejsende, ved hjælp af hvilken aflæsningerne af hans ur "transmitteres" til hans hjemmelegeme-bror. I afsnittet " Signaludveksling " vil den enkleste beregning baseret på Doppler-effekten blive givet .

Den anden gruppe omfatter beregninger, der tager højde for detaljerne i accelereret bevægelse . Til gengæld er de opdelt på grundlag af brugen eller ikke-brugen af Einsteins tyngdekraftsteori (GR) i dem. Beregninger ved hjælp af generel relativitet er baseret på indførelsen af et effektivt gravitationsfelt svarende til systemets acceleration og under hensyntagen til ændringer i tidshastigheden i det. I den anden metode beskrives ikke-inertielle referencesystemer i flad rumtid, og begrebet gravitationsfelt er ikke involveret. Hovedideerne i denne gruppe af beregninger vil blive præsenteret i afsnittet " Ikke-inertielle referencerammer ".

Kinematiske effekter af SRT

SRT er baseret på Lorentz-transformationerne . For at forstå essensen af tvillingeparadokset er en omhyggelig analyse af de vigtigste kinematiske effekter, der følger af dem, nødvendig. Overvej to referencerammer og , hvis rumlige akser er parallelle med hinanden. Lad systemet bevæge sig relativt langs aksen med en hastighed , så: $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil x$ $\tekststil v$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

hvor - koordinaten og tiden i den "faste" referenceramme , - koordinaten og tiden i den "bevægelige" ramme . $\tekststil(x,t)$ $\tekststil S$ $\tekststil (x',t')$ $\tekststil S'$

Tidsnedgang

Hvis uret er stationært i systemet (i dets egen referenceramme), så gælder ligheden for to på hinanden følgende hændelser, der forekommer på et tidspunkt i systemet . Sådanne ure bevæger sig i forhold til systemet ifølge loven . Så følger det af Lorentz-transformationerne, at tidsintervallet mellem hændelser i systemet er relateret til intervallet mellem de samme hændelser i systemet ved ligheden: $\tekststil S'$ $\tekststil S'$ $\tekststil \Delta x'=0$ $\tekststil S$ $\tekststil \Delta x=v\Delta t$ $\tekststil \Delta t'$ $\tekststil S'$ $\tekststil \Delta t$ $\tekststil S$ $~~~\Delta t'=\Delta t\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}.$

Det er vigtigt at forstå, at i denne formel er tidsintervallet målt med én hviletime ( ). Det sammenlignes med aflæsningerne af flere forskellige, synkront kørende ure placeret i systemet ( ), som uret flyver forbi med en hastighed på . $\tekststil \Delta t'$ $\tekststil S'$ $\tekststil \Delta x'=0$ $\tekststil \Delta t$ $\tekststil S$ $\textstyle \Delta x\neq 0$ $v$ $\tekststil S'$

Tidsintervallet målt af uret i systemet mellem hændelser i systemet er større end intervallet målt af uret i dets egen referenceramme : fordi $\tekststil \Delta t$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil \Delta t'$ $\tekststil S'$ $\textstyle \Delta t>\textstyle \Delta t'$

\Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

I systemet kører det bevægelige ur langsommere end i sin egen referenceramme . $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil S'$

Et vigtigt punkt i tidsdilatationseffekten er relateret til ækvivalensen af inertielle referencerammer ( relativitetsprincippet ). Ure, der er stationære i rammen : bevæger sig i forhold til synkroniserede ure i rammen : og går langsommere end i deres egen referenceramme : fordi $\tekststil S$ $\tekststil \Delta x=0$ $\tekststil S'$ $\tekststil \Delta x'=-v\Delta t'$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\textstyle \Delta t'>\textstyle \Delta t$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

På trods af den foregående notation modsiger den sidste formel ikke den forrige. Hver af dem beskriver forskellige måleprocedurer. I det første tilfælde bevæger det ene ur, der hviler i systemet (dets egen referenceramme), sig forbi flere timer ved , og i det andet tilfælde er situationen omvendt: et ur i sin egen referenceramme bevæger sig forbi flere timer kl . $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$

Relativitet af simultanitet

Relativiteten af begivenhedernes samtidighed er nøgleeffekten af SRT, som er nødvendig for at forstå "tvillingparadokset". Overvej en referenceramme, der bevæger sig med en hastighed i retning af systemets akse . I hvert af systemerne er synkroniserede ure placeret langs akserne. Lad der være observatører i nærheden af hvert ur i begge referencerammer. I Lorentz-transformationerne antages det, at referencesystemernes oprindelse på tidspunktet er sammenfaldende: . Nedenfor er en sådan synkronisering af tidsreferencen (på det "centrale" ur) fra observatørers synspunkt i referencesystemet (venstre billede) og fra observatørers synspunkt i (højre billede): $\tekststil S'$ $v$ $\tekststil x$ $\tekststil S$ $\tekststil x$ $x'$ $\tekststil t'=t=0$ $\tekststil x'=x=0$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$

Ved at indsætte Lorentz-transformationerne får vi . Det betyder, at observatører i systemet , samtidig med tidspunktet på det centrale ur , registrerer forskellige aflæsninger på urene i systemet (venstre figur). For observatører i , placeret til højre for punktet , med koordinater , på tidspunktet for tiden, viser uret for den faste referenceramme den "fremtidige" tid: . Observatører til venstre for fastlægger urets "tidligere" tid : . Visernes position symboliserer forskellen mellem uraflæsningerne for de to referencerammer. For eksempel forekommer to hændelser, der fandt sted ad gangen i forskellige punkter i systemet , ikke samtidigt i referencerammen fra observatørers synspunkt i systemet : den venstre hændelse sker før den højre. $\tekststil t'=0$ $\tekststil t=vx/c^2$ $\tekststil S'$ $\tekststil t'=t=0$ $\tekststil x'=x=0$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil x=0$ $\tekststil x>0$ $\tekststil t'=0$ $\tekststil S$ $\tekststil t=vx/c^2>0$ $\tekststil S'$ $\tekststil x=0$ $\tekststil S$ $\tekststil t<0$ $\tekststil t'=0$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$

Dette udsagn er sandt for ethvert tidspunkt . Det følger af Lorentz-transformationerne, at hvis , så Derfor, hvis , derefter og . Det betyder, at i referencerammen sker den venstre hændelse i punktet før den højre i punktet : . Denne kendsgerning er rettet af de ure, der er synkroniseret i systemet . Observatører i begge systemer vil således fikse, at hændelser ikke er samtidige i systemet . $t'$ $\Delta t'=0$ $\Delta t={\frac {v}{c^{2}}}\Delta x.$ $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $\tekststil S$ $x_{1}$ $x_{1}<x_{2}$ $x_{2}$ $t_{1}<t_{2}$ $\tekststil S$ $\tekststil S$

Da systemerne er ens , set fra systemets observatørers synspunkt, er urene i systemet ikke synkroniserede. Hændelser, der forekommer samtidigt på forskellige punkter i systemet , forekommer ikke samtidigt i systemet for observatører af begge systemer. $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$

Et enkelt "rigtigt", det vil sige ure, der kører synkront på forskellige punkter i rummet, kan introduceres i hver inertiereference. Der er dog ikke en enkelt "rigtig" for to forskellige referencerammer.

Fra deres synspunkt indeholder systemet, der bevæger sig i forhold til stationære observatører, ure desynkroniseret i bevægelsesretningen, en slags kontinuerlig forening af "fortid", "nutid" og "fremtid".

Effekterne af tidsudvidelse og relativiteten af samtidighed er tæt forbundet med hinanden og lige så nødvendige for at beregne situationen beskrevet i tvillingers "paradoks".

De enkleste forklaringer

På grund af sin lange historie findes tvillingeparadokset i en række forskellige formuleringer. Oftest demonstrerer en eller anden metode brødrenes symmetri, hvorfra en modsigelse med SRT-konklusionen om, at den rejsendes ur vil falde bagud, bør følge. Den originale version af paradokset ( Formulering I ) specificerer ikke arten af den rejsendes bevægelse. Derfor er følgende enkle forklaring gyldig for det (på et kvalitativt niveau):

Forklaring I. Brødrene er ikke ligeværdige, da en af dem (den rejsende) oplevede de stadier af accelereret bevægelse, der var nødvendig for hans tilbagevenden til Jorden [2] .

Men som eksperimentelle data viser, påvirker acceleration som sådan ikke urets hastighed [28] . I dette tilfælde er acceleration således blot en indikator for et eller andet fænomen, der introducerer asymmetri i den rejsendes og sofakartoffelens tilstand.

Konstateringen af brødrenes asymmetri forklarer naturligvis ikke i sig selv, hvorfor det er den rejsendes vagt, der skal bremse, og ikke hjemmemenneskets. Derudover opstår der ofte misforståelser:

"Hvorfor fører krænkelsen af brødrenes ligestilling i så kort tid (at stoppe den rejsende) til en så slående krænkelse af symmetrien?"

Dette kan tydeligt ses på fig. 1 og 2, som viser den samme situation fra forskellige synsvinkler. På fig. 1 betragter den inertiereferenceramme, der er forbundet med Jorden. Ris. 2 viser den inertiramme, der er knyttet til skibet. Men da skibet ikke bevæger sig ensartet hele tiden (vi antager betinget, at dets bane består af to sektioner af ensartet bevægelse adskilt af kortvarig acceleration), kan inertiereferencerammen kun falde sammen med skibet en del af dets bane. Vi betragter et system, der falder sammen med skibet på den første halvdel af dets rejse.

Som det kan ses af fig. 1 og 2:

I begge tilfælde er Jordens verdenslinje lige.
I begge tilfælde er skibets verdenslinje en brudt linje.

Da den stiplede linje i ethvert referencesystem er længere end den rette linje, rejser den rejsende en længere sti i rum-tid, og en længere sti svarer til en mindre egentlig tid.

For bedre at forstå årsagerne til asymmetri og de konsekvenser de fører til, er det nødvendigt endnu en gang at fremhæve de centrale præmisser, som er eksplicit eller implicit til stede i enhver formulering af paradokset. For at gøre dette vil vi antage, at langs den rejsendes bane i den "faste" referenceramme, der er knyttet til hjemmekroppen, er der ure, der kører synkront (i denne ramme). Så er den følgende kæde af ræsonnement mulig, som om at bevise inkonsistensen af SRT-konklusioner:

Den rejsende, der flyver forbi ethvert ur, der er stationært i homebody-systemet, observerer deres langsomme løb.
Urets langsommere tempo betyder, at dets akkumulerede aflæsninger vil halte bagefter den rejsendes ur, og på en lang flyvning, vilkårligt meget.
Efter at have stoppet hurtigt, skal den rejsende stadig observere forsinkelsen af uret placeret ved "stoppepunktet".
Alle ure i det "faste" system kører synkront, så broderens ur på Jorden kommer også bagud, hvilket modsiger konklusionen fra SRT.

Så hvorfor skulle den rejsende faktisk observere sit ur halte bagefter det "stationære" system, på trods af at alle sådanne ure kører langsommere fra hans synspunkt? Den enkleste forklaring [29] inden for SRT er, at det er umuligt at synkronisere alle ure i to inertiereferencerammer. Lad os se nærmere på denne forklaring.

Den fysiske årsag til paradokset

Under flyvningen er den rejsende og hjemmepersonen på forskellige steder i rummet og kan ikke direkte sammenligne deres ure. Derfor vil vi, som ovenfor, antage, at der langs den rejsendes bane i det "immobile" system, der er forbundet med hjemmekroppen, er identiske, synkront kørende ure, som den rejsende kan observere under flyvningen. Takket være synkroniseringsproceduren i det "immobile" referencesystem introduceres en enkelt tid, som i øjeblikket bestemmer "nutiden" af dette system.

Efter starten "overfører" den rejsende til en inertiereferenceramme , der bevæger sig relativt "stationært" med en hastighed . Dette tidspunkt opfattes af brødrene som det første . Hver af dem vil se den anden broders ur blive langsommere. $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil v$ $\tekststil t=t'=0$

Et enkelt "rigtigt" system for den rejsende ophører dog med at eksistere. Referencesystemet har sit eget "rigtige" (mange synkroniserede ure). For et system gælder det, at jo længere på den rejsendes vej de dele af systemet er , jo fjernere er de "fremtid" (set fra det "rigtige" systems synspunkt ). $\tekststil S$ $\tekststil S'$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $\tekststil S'$

Den rejsende kan ikke direkte observere denne fremtid. Dette kunne gøres af andre observatører af systemet, der er placeret foran bevægelsen og har tiden synkroniseret med den rejsende. $\tekststil S'$

Selvom alle de ure i en fast referenceramme, som den rejsende flyver forbi, er langsommere set fra hans synspunkt, følger det derfor ikke heraf , at de vil halte efter hans ur.

På tidspunktet t , jo længere fremme det "stationære" ur er, jo større er dets aflæsning fra den rejsendes synspunkt. Når han når disse timer, vil de ikke være langt nok bagud til at opveje den indledende tidsforskel. $\tekststil t'=0$

Faktisk, lad os sætte den rejsendes koordinat i Lorentz-transformationerne lig med . Loven om dens bevægelse i forhold til systemet har formen . Den tid, der er gået siden starten af flyvningen, er ifølge uret i systemet mindre end i : , da $\tekststil x'=0$ $\tekststil S$ $\tekststil x=vt$ $\tekststil S'$ $\tekststil S$ $t'<t$

t " = t − v ( v t ) / c 2 en − v 2 / c 2 = t en − v 2 / c 2 . {\displaystyle t'={\frac {tv(vt)/c^{2)){\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.} $t'={\frac {tv(vt)/c^{2)){\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.$

Med andre ord halter tiden på den rejsendes ur efter systemets ur . Samtidig er uret, den rejsende flyver forbi, stadig på : . Derfor ser deres fremskridtstempo for den rejsende langsomt ud: $t'$ $t$ $S$ $\tekststil S$ $\tekststil \Delta x = 0$

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} > \Delta t.

På denne måde:

på trods af at alle bestemte ure i systemet kører langsommere set fra en observatørs synspunkt i , vil forskellige ure langs hans bane vise tiden, der er gået forud. $\tekststil S$ $\tekststil S'$

Forskellen i hastigheden af uret og - effekten er relativ, mens værdierne af de aktuelle aflæsninger og på et rumligt punkt - er absolutte. Observatører, der er i forskellige inertiereferencerammer , men "på samme" rumlige punkt, kan altid sammenligne de aktuelle aflæsninger af deres ure. Den rejsende, der flyver forbi systemets ur , ser, at de er gået foran . Derfor, hvis den rejsende beslutter sig for at stoppe (bremse hurtigt), vil intet ændre sig, og han vil falde ind i systemets "fremtid" . Naturligvis, efter stop, vil tempoet på hans ur og uret ind blive det samme. Den rejsendes ur vil dog vise mindre tid end systemets ur ved stoppunktet. På grund af den ensartede tid i systemet vil den rejsendes ur halte bagefter alle ure , inklusive hans brors. Efter stop kan den rejsende vende hjem. I dette tilfælde gentages hele analysen. Som følge heraf er den rejsende både ved standsning og drejning og ved startpunktet ved hjemkomst yngre end sin bror-hjemmekrop. $\Delta t$ $\Delta t'$ $t$ $t'$ $\tekststil S$ $\tekststil t>t'$ $\tekststil S$ $\tekststil S$ $\tekststil S$ $\tekststil S$ $\tekststil S$

Hvis den hjemmeværende i stedet for at stoppe den rejsende accelererer til sin hastighed, så vil han "komme" ind i "fremtiden" af den rejsendes system. Som følge heraf vil "hjemmepersonen" være yngre end den "rejsende". På denne måde:

som ændrer sin referenceramme, han viser sig at være yngre.

Signalering

Beregningen af tidsdilatation fra hver broders position kan udføres ved at analysere udvekslingen af signaler mellem dem [30] . Selvom brødrene, der befinder sig på forskellige steder i rummet, ikke direkte kan sammenligne aflæsningerne af deres ure, kan de transmittere "nøjagtige tid"-signaler ved hjælp af lysimpulser eller videotransmission af urbilledet. Det er klart, at de i dette tilfælde ikke observerer den "nuværende" tid på broderens ur, men "fortiden", da signalet tager tid at forplante sig fra kilden til modtageren.

Ved udveksling af signaler skal der tages hensyn til Doppler-effekten . Hvis kilden bevæger sig væk fra modtageren, falder signalets frekvens, og når den nærmer sig, stiger den:

hvor er strålingens naturlige frekvens , og er frekvensen af signalet modtaget af observatøren. Doppler-effekten har en klassisk komponent og en relativistisk komponent direkte relateret til tidsudvidelse. Hastigheden inkluderet i frekvensændringsforholdet er den relative hastighed for kilden og modtageren. $\tekststil \nu_0$ $\tekststil \nu$ $\tekststil v$

Overvej en situation, hvor brødrene hvert sekund (ved deres ure) sender de nøjagtige tidssignaler til hinanden. Lad os først lave beregningen fra den rejsendes synspunkt. $\tekststil \nu_0=1$

Rejsendes beregning

Mens den rejsende bevæger sig væk fra Jorden, registrerer han på grund af Doppler-effekten et fald i frekvensen af de modtagne signaler. Videofeedet fra Jorden ser ud til at være langsommere. Efter hurtig opbremsning og stop holder den rejsende op med at bevæge sig væk fra jordiske signaler, og deres periode umiddelbart [komm. 1] viser sig at være lig med hans anden. Tempoet i videoudsendelsen bliver "naturligt", selvom den rejsende på grund af lysets hastighed stadig observerer sin brors "fortid". Efter at have vendt rundt og accelereret, begynder den rejsende at "løbe" [komm. 2] på signalerne, der kommer mod ham, og deres frekvens stiger (igen på grund af Doppler-effekten ). "Brors bevægelser" på videoudsendelsen fra dette øjeblik begynder at se accelererede ud for den rejsende [komm. 3] .

Flyvetiden ifølge den rejsendes ur i én retning er lig med , og den samme i den modsatte retning. Antallet af "Jordsekunder" taget under rejsen er lig med deres frekvens gange tiden. Derfor, når den rejsende bevæger sig væk fra Jorden, vil den rejsende modtage betydeligt færre "sekunder": $\tekststil t'_1$ $\tekststil t'=2t'_1$ $\tekststil \nu$

t_1 = t'_1\cdot \sqrt{\frac{cv}{c+v}} < t'_1,

og når man tværtimod nærmer sig mere:

t_2 =t'_1\cdot \sqrt{\frac{c+v}{cv)) > t'_1.

Det samlede antal "sekunder" modtaget fra Jorden i løbet af tiden t er større end dem, der sendes til den: $\tekststil t'=2t'_1$

t = t_1 + t_2 = t'_1\cdot \frac{cv}{\sqrt{c^2-v^2}} + t'_1\cdot \frac{c+v}{\sqrt{c^2- v^2}}= \frac{t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},

i nøjagtig overensstemmelse med tidsudvidelsesformlen.

Beregning af et hjemmelegeme

Noget anderledes regnestykke for en hjemmemand. Mens hans bror flytter væk, registrerer han også en øget periode med nøjagtig tid, der overføres af den rejsende. Men i modsætning til sin bror observerer hjemmepersonen en sådan afmatning i længere tid . Flyvetiden for en afstand i én retning er ifølge jordure . Den hjemmeværende vil se den rejsendes opbremsning og drejning efter den ekstra tid , der kræves for lyset at rejse afstanden fra vendepunktet. Derfor vil hjemmepersonen først efter tidspunktet fra rejsens start registrere det accelererede arbejde på uret [komm. 4] for den nærgående bror: $\tekststil L$ $\tekststil t_1$ $\tekststil t_2=L/c$ $\tekststil L$ $\tekststil t_1+t_2$

Tidspunktet for lysets bevægelse fra vendepunktet udtrykkes i forhold til den rejsendes flyvetid til det som følger (se figur):

t_2=\frac{L}{c}=\frac{vt_1}{c}.

Derfor er antallet af "sekunder" modtaget fra den rejsende før tidspunktet for hans tur (ifølge observationerne fra hjemmekroppen) lig med:

t'_1 = (t_1+t_2)\cdot\sqrt{\frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \left(1+\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Den hjemmeværende modtager signaler med en øget frekvens over tid (se figuren ovenfor), og modtager den rejsendes "sekunder": $\tekststil t_1-t_2$ $\tekststil t'_2$

t'_2= (t_1-t_2) \cdot\sqrt{\frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \left(1-\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Det samlede antal modtagne "sekunder" for tiden er lig med: $\tekststil t=2t_1$

t'= t'_1+t'_2 = t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.

Forholdet for uraflæsningen på tidspunktet for mødet mellem den rejsende ( ) og den hjemlige bror ( ) afhænger således ikke af, hvis synsvinkel det er beregnet ud fra. $\tekststil t'$ $\tekststil t$

Geometrisk fortolkning

I Minkowski-rummet er verdenslinjen for en observatør i hvile (eller bevæger sig ensartet og retlinet) et lige linjesegment. Verdenslinjen for en rejsende, der fløj væk fra Jorden og vendte tilbage til den, er ikke en lige linje (i det simpleste tilfælde af en øjeblikkelig hastighedsændring til det modsatte ved vendepunktet, er det en brudt linje, og når man passerer en del af stien med konstant acceleration, vil den tilsvarende sektion af linjen være en bue af en hyperbel). Ligesom i almindelig geometri, af alle linjer, der forbinder to punkter, er den korteste en ret linje, således i Minkowski-rummet, af alle verdens linjer, der forbinder to punkter, er den længste (og ikke den korteste på grund af det pseudo- euklidiske rum-tid) er et lige segment.

Da længden af verdenslinjen for en observatør, der bevægede sig i Minkowski-rummet fra punkt a til punkt w er, op til en faktor c , lig med den tid, der blev brugt på denne bevægelse i hans egen referenceramme, har vi alle observatører, der startede ved punkt a og dem, der sluttede ved punkt w , i referencerammen for den observatør, der var i hvile (eller bevægede sig ensartet og retlinet, hvis de rumlige koordinater for punkt a og w ikke stemmer overens), vil passere den største tid.

For at forstå, hvordan tidsforskellen mellem tvillinger manifesterer sig, skal du forstå, at der i den særlige relativitetsteori ikke er noget begreb om en absolut nutid . For forskellige inertiereferencerammer er der forskellige sæt begivenheder, der er samtidige i denne referenceramme. Denne relativitet af simultanitet betyder, at skift fra en inertiereferenceramme til en anden kræver en justering af, hvilken del af rum-tid, der anses for at være "rigtig". På rum-tidsdiagrammet til højre, tegnet for referencerammen for den jordiske tvilling, falder verdenslinien for denne tvilling sammen med den lodrette akse (dens position er konstant i rummet, den bevæger sig kun i tid). På det første segment af stien bevæger den anden tvilling sig til højre (sort skrå linje); og på det andet segment tilbage til venstre. De blå linjer viser samtidighedsplanerne for den rejsende tvilling på rejsens første del; røde streger på vej tilbage. Lige før den vender rundt, beregner den rejsende tvillingen jordtvillingens alder ved at måle intervallet langs den lodrette akse fra oprindelsen til den øverste blå linje. Umiddelbart efter rotationen, hvis den genberegner, vil den måle intervallet fra origo til den nederste røde linje. På en måde, under rullen, hopper samtidighedsplanet fra blåt til rødt og flyver meget hurtigt gennem et stort segment af jordtvillingens verdenslinje. Under overgangen fra den "afgående" inertiereference til den "tilbagevendende" inertieramme sker der en brat ændring i tvillingens alder på Jorden [31] [32] [33] [34] [35] .

Ikke-inertielle referencerammer

I vilkårlige referencesystemer er egenskaberne for rum og tid bestemt af den metriske tensor , som sætter intervallet mellem to uendeligt tætte hændelser: $\tekststil g_{\mu\nu}$

ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu = g_{00}\, (dx^0)^2 + 2\,g_{0i}\,dx^0dx^i + g_{ij}\,dx^idx^j,

hvor, ved at gentage indeks, antydes summering (i græske bogstaver fra 0 til 3 og på latin fra 1 til 3), - tidskoordinat, - rumlig. Den korrekte tid for et ur langs dets bane er defineret som følger: $\tekststil x^0=ct$ $\tekststil x^i=(x,y,z)$

\frac{1}{c}\int\limits^t_0 ds.

Dens værdi er invariant , derfor bør beregninger udført i forskellige referencesystemer give det samme resultat.

Beregning af et hjemmelegeme

Tvillingen, der er tilbage på Jorden, er i inertieneferencerammen , så metrikken for den kan vælges på en sådan måde, at

ds^2=(cdt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2.

I dette tilfælde antager den korrekte tid for ethvert ur en simpel form:

\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,

hvor er urets hastighed. Jordure er stationære ( ), og deres korrekte tid er lig med koordinattiden . Rejseuret har en variabel hastighed . Da roden under integralet forbliver mindre end én hele tiden, viser tiden for disse ure sig, uanset funktionens eksplicitte form , altid at være mindre end . Som et resultat . $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}=0$ $\tekststil \tau_0=t$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\tekststil t$ $\tekststil \tau'_0<\tau_0$

Hvis accelerationen og decelerationen er relativistisk ensartet accelereret (med parameteren egen acceleration ) under , og den ensartede bevægelse er , så vil tiden gå i henhold til skibets ur [36] : $\tekststil a$ $\tau_1$ $\tau_2$

\tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\venstre[\frac{a\tau_1}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right) ^2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2)) = \frac{2c}{a}\, \operatørnavn{arcsinh}\frac{a \tau_1}{c} + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2))

, hvor er den hyperbolske arcsine

\operatørnavn{arcsinh}

Overvej en hypotetisk flyvning til stjernesystemet Alpha Centauri , fjernt fra Jorden i en afstand af 4,3 lysår . Hvis tiden måles i år og afstande i lysår, så er lysets hastighed lig med én, og enhedsaccelerationen for lysår/år² er tæt på tyngdeaccelerationen og er cirka lig med 9,5 m/s². $\tekststil c$ $\tekststil a=1$

Lad rumfartøjet bevæge sig halvdelen af vejen med enhedsacceleration, og sænk den anden halvdel med samme acceleration ( ). Så vender skibet om og gentager stadierne med acceleration og deceleration. I denne situation vil flyvetiden i jordens referencesystem være cirka 12 år, mens der ifølge uret på skibet vil gå 7,3 år. Skibets maksimale hastighed vil nå 0,95 af lysets hastighed. $\tekststil \tau_2=0$

I løbet af 59 års passende tid kan et rumfartøj med enhedsacceleration potentielt tage en tur (tilbage til Jorden) til Andromeda-galaksen , 2,5 millioner lysår væk. år . På Jorden vil der under en sådan flyvning gå omkring 5 millioner år. Ved at udvikle dobbelt så meget acceleration (som en trænet person godt kan vænne sig til under en række forhold og ved at bruge en række enheder, for eksempel suspenderet animation ), kan man endda tænke på en ekspedition til universets synlige kant ( omkring 14 milliarder lysår), hvilket vil tage astronauter omkring 50 år; men når de vender tilbage fra en sådan ekspedition (efter 28 milliarder år ifølge jordens ure), risikerer dens deltagere ikke at finde i live ikke kun Jorden og Solen, men endda vores Mælkevejsgalakse . Baseret på disse beregninger overstiger en rimelig adgangsradius for interstellare ekspeditioner med tilbagevenden ikke adskillige tiere lysår, medmindre der naturligvis opdages fundamentalt nye fysiske principper for bevægelse i rum-tid. Opdagelsen af adskillige exoplaneter tyder dog på, at planetsystemer findes i nærheden af en ret stor del af stjerner, så astronauter vil have noget at udforske i denne radius (for eksempel planetsystemerne ε Eridanus og Gliese 581 ).

Rejsendes beregning

For at udføre den samme beregning fra den rejsendes position er det nødvendigt at indstille den metriske tensor svarende til dens ikke-inertielle referenceramme . I forhold til dette system er den rejsendes hastighed nul, så tiden på hans ur er

\tau'_0=\int\limits^t_0\sqrt{g_{00}}\;dt.

Bemærk, at det er koordinattiden og i den rejsendes system afviger fra tidspunktet for hjemmepersonens referencesystem. $\tekststil t$ $\tekststil t$

Jorduret er frit, så det bevæger sig langs den geodætiske , defineret af ligningen [37] :

\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds }=0,

hvor er Christoffel-symbolerne , udtrykt i den metriske tensor . For en given metrisk tensor af en ikke-inertiel referenceramme giver disse ligninger os mulighed for at finde banen for hjemmekroppens ur i den rejsendes referenceramme. Dens substitution i formlen for korrekt tid giver det tidsinterval, der er gået i henhold til det "stationære" ur: $\tekststil \Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ $\tekststil g_{\mu\nu}$ $\tekststil x^i(t)$

\tau_0 = \int\limits^t_0 \sqrt{g_{00} + 2g_{0i}\,u^i/c + g_{ij}\,u^iu^j/c^2}\cdot dt,

hvor er jordurets koordinathastighed. $\tekststil u^i(t)=dx^i/dt$

En lignende beskrivelse af ikke-inertielle referencesystemer er mulig enten ved hjælp af Einsteins gravitationsteori eller uden reference til sidstnævnte. Detaljer om beregningen inden for rammerne af den første metode kan f.eks. findes i bogen af Fock [38] eller Möller [39] . Den anden metode overvejes i Logunovs bog [40] .

Resultatet af alle disse beregninger viser, at fra den rejsendes synspunkt vil hans ur halte bagefter en stationær observatørs. Som følge heraf vil forskellen i rejsetid fra begge synsvinkler være den samme, og den rejsende vil være yngre end hjemmepersonen. Hvis varigheden af stadierne af accelereret bevægelse er meget mindre end varigheden af ensartet flyvning, falder resultatet af mere generelle beregninger sammen med formlen opnået inden for rammerne af inertielle referencerammer.

Konklusioner

Begrundelsen bag historien om tvillingerne fører kun til en tilsyneladende logisk modsigelse. Med nogen formulering af "paradokset" er der ingen fuldstændig symmetri mellem brødrene. Derudover spiller relativiteten af begivenhedernes samtidighed en vigtig rolle i forståelsen af, hvorfor tiden går langsommere netop for en rejsende, der har ændret sin referenceramme.

Beregningen af tidsdilatationsværdien fra hver broders position kan udføres både inden for rammerne af elementære beregninger i SRT og ved hjælp af analysen af ikke-inertielle referencerammer. Alle disse beregninger stemmer overens med hinanden og viser, at den rejsende vil være yngre end sin hjemmeboende bror.

Tvillingparadokset kaldes ofte fejlagtigt også selve relativitetsteoriens konklusion om, at den ene tvilling bliver mere gammel end den anden. Selvom denne situation er usædvanlig, er der ingen iboende modsætning i den. Talrige eksperimenter med at forlænge levetiden af elementarpartikler og sænke hastigheden af makroskopiske ure under deres bevægelse bekræfter relativitetsteorien. Dette giver grundlag for at hævde, at tidsudvidelsen beskrevet i tvillinghistorien også vil forekomme i selve implementeringen af dette tankeeksperiment.

Se også

Kommentarer

↑ Her betragtes lys i ISO, det vil sige i systemet med en sofakartoffel, ikke en rejsende
↑ "Løber" fra en hjemmemands synspunkt. I forhold til den rejsende flyver strålingskilden (homebody) hen imod.
↑ Dette refererer til den accelererede modtagelse af signalet, men fra den rejsendes synspunkt bremses hele hjemmekroppens verden i overensstemmelse med den relativistiske tidsudvidelse.
↑ Dette refererer til den øgede hastighed for at modtage den rejsendes impulser på grund af hans bevægelse mod.

Noter

↑ Einstein A. " Om elektrodynamikken i bevægelige legemer ", Ann. d. Phys., 1905 f. 17, s. 89, russisk oversættelse i "Einstein A. Samling af videnskabelige artikler i fire bind. Bind 1. Arbejder med relativitetsteorien 1905-1920. Moskva: Nauka, 1965.
↑ 1 2 Langevin P. " L'evolution de l'espace et du temps ". Scientia 10:31-54. (1911)
↑ Laue M. (1913) " Das Relativit\"atsprinzip ". Wissenschaft (nr. 38) (2 udg.). (1913)
↑ Einstein A. " Dialog om indvendinger mod relativitetsteorien ", Naturwiss., 6, s. 697-702. (1918). Russisk oversættelse "A. Einstein, Samling af videnskabelige artikler, bind I, M., Videnskab (1965)
↑ Pauli V. - " Relativitetsteori " M .: Nauka, 1991.
↑ Dingle H. Relativitet og rumfart , Nature 177, 4513 (1956).
↑ Dingle H. " En mulig eksperimentel test af Einsteins andet postulat ", Nature 183, 4677 (1959).
↑ Coawford F. " Eksperimentel verifikation af ur-paradokset i relativitet ", Nature 179, 4549 (1957).
↑ Darvin S., " The clock paradox in relativity ", Nature 180, 4593 (1957).
↑ Boyer, R., " The Clock Paradox and General Relativity ", Einstein Miscellany, Science, (1968).
↑ Campbell W., " The clock paradox ", Canada. Aeronaut. J.4, 9, (1958)
↑ Frey R., Brigham V., " Paradox of the twins ", Amer. J Phys. 25.8 (1957)
↑ Leffert S., Donahue T., " Clock paradox and the physics of discontinuous gravitational fields ", Amer. J Phys. 26, 8 (1958)
↑ McMillan E., " The "clock-paradox" and space travel ", Science, 126, 3270 (1957)
↑ Romer R., " Tvillingparadoks i speciel relativitet ". amer. J Phys. 27, 3 (1957)
↑ Schild, A. " The clock paradox in relativity theory ", Amer. Matematik. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).
↑ Singer S., " Relativitet og rumrejser ", Nature 179.4567 (1957)
↑ Skobeltsyn D. V. , " Tvillingeparadokset i relativitetsteorien ", "Videnskab", (1966).
↑ Goldenblat I.I., " Paradoxes of time in relativistic mechanics ", M. "Nauka", (1972).
↑ Terletsky Ya. P. " Relativitetsteoriens paradokser ", M.: Nauka (1965)
↑ Ugarov V. A. - " Særlig relativitetsteori " M .: "Nauka", (1977)
↑ M. Born , " Space travel and the clock paradox " Arkiveret 18. oktober 2016 på Wayback Machine , UFN, 69, nr. 1 (1959)
↑ Dray T., " The twin paradox revisited " Amer. J. af Phys. V.58, I.9, s. 822-825 (1990)
↑ Debs TA. Redhead, MLG " Paradox of the twins " Amer. J. af Phys. V.64; N.4, s. 384-391, (1996)
↑ Cranor MB, Heider EM, Price RH " A circular twin paradox " Amer. J. af Phys. V.68; S.11, s. 1016-1020 (2000)
↑ Muller T., King A., Adis D., " A trip to the end of the universe and the twin paradox " Amer. J. af Phys. V.76; N.4/5, s. 360-373 (2008)
↑ Grandou T., Rubin JL, " On the Ingredients of the Twin Paradox " Int.J. af Theor. Phys., V. 48, N. 1, s. 101-114 (2009)
↑ Mizner C., Thorn C., Wheeler J. § 38.4. KONTROL AF EKSISTERENS AF EN METRIK, SOM BESTEMMER MÅLING AF LÆNGDE OG TID OG OGSÅ KINEMATIKKEN AF Partikler // Tyngdekraft. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - S. 296. - 512 s.
↑ Tvillingeparadokset . Hentet 23. juli 2022. Arkiveret fra originalen 16. maj 2021. (ubestemt)
↑ Eisenlohr H., Another Note on the Twin Paradox, Amer. J. Phys., 36, 635 (1968) [1]
↑ Ohanian, Hans. Særlig relativitetsteori: en moderne introduktion. - Lakeville, MN: Physics Curriculum and Instruction, 2001. - ISBN 0971313415 .
↑ Harris, Randy. Moderne fysik. - San Francisco, CA: Pearson Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0805303087 .
↑ Kogut, John B. Introduktion til relativitet: For fysikere og astronomer . - Academic Press, 2012. - S. 35. - ISBN 978-0-08-092408-3 . Arkiveret 30. april 2021 på Wayback Machine Uddrag af side 35 Arkiveret 20. februar 2017 på Wayback Machine
↑ Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Spacetime Physics, anden udgave. W.H. Freeman: New York, pp. 38, 170-171.
↑ Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. og Weyl, H. (1923). Arnold Sommerfeld. udg. Relativitetsprincippet. Dover Publikationer: Mineola, NY. s. 38.
↑ Accelereret bevægelse i speciel relativitet, site "Relativistisk verden - forelæsninger om relativitetsteorien, tyngdekraften og kosmologien"
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Felteori. - 8. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2006 . — 534 s. - ("Teoretisk fysik", bind II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Fok V.A. " Theory of Space, Time and Gravity " M .: State ed.tekh.-theor.lit., (1955)
↑ Möller K. " Relativitetsteori " M.: " Atomizdat ", 1975.
↑ Logunov A. A. , “ Forelæsninger om relativitetsteori og gravitation. Moderne analyse af problemet ", M.: "Science" (1987)

Yderligere information

Twin Paradox oversigt i Usenet Physics FAQ
Wolfgang Rindler, Wolfgang Rindler. Tidsudvidelse // Relativitet: Speciel, generel og kosmologisk (engelsk) . - Oxford University Press , 2006. - S. 43. - ISBN 0198567316 .
FLASH Animationer: fra John de Pillis. (Scene 1): "Udsigt" fra jordtvillingens synspunkt. (Scene 2): "Udsigt" fra den rejsende tvillingers synspunkt. (Engelsk)
Tvillingparadoks / Website Relativistisk verden — foredrag om relativitetsteorien, tyngdekraften og kosmologien

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer jorden rundt Britannica (online)