Ortogonalt komplement

Det ortogonale komplement af et underrum af et vektorrum med en bilineær form er sættet af alle vektorer ortogonalt til hver vektor fra . Dette sæt er et vektorunderrum , som normalt betegnes med . $W$ $V$ $B$ $V$ $W$ $V$ $W^{\bot }$

Definition

Lade være et vektorrum over et felt med en bilineær form . En vektor er venstre ortogonal i forhold til en vektor , og en vektor er ret ortogonal i forhold til en vektor, hvis og kun hvis Det venstre ortogonale komplement af et underrum er det sæt af vektorer, der er venstre ortogonalt til hver vektor , dvs. $V$ $F$ $B$ $u$ $v$ $v$ $u$ $B(u,v)=0.$ $W$ $W$

W^{\bot }=\venstre\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.

Det højre ortogonale komplement er defineret på samme måde. For en symmetrisk eller skæv-symmetrisk bilineær form er definitionerne af venstre og højre ortogonale komplementer derfor de samme. $B(u,v)=0\Leftrightarrow B(v,u)=0,$

Definitionen kan overføres til tilfældet med et frit modul over en kommutativ ring . [en]

Egenskaber

Det ortogonale komplement er et underrum, det vil sige, det er lukket under vektoraddition og multiplikation med et feltelement.
Hvis , så $X\subseteq Y$ $Y^{\bot}\subseteq X^{\bot }.$
Radikalen i en bilineær form er et underrum af ethvert ortogonalt komplement.
$W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }.$
Hvis formen er ikke- degenereret , og rummet er endeligt dimensioneret, så $B$ $V$ $\mathrm {dim} \;W+\mathrm {dim} \;W^{\bot }=\mathrm {dim} \;V.$
Hvis er et endeligt -dimensionelt euklidisk rum og er et skalært produkt (eller henholdsvis et enhedsrum og et hermitisk skalarprodukt), så udvides for ethvert underrum til en direkte sum og [2] $V$ $B$ $W\subseteq V$ $V$ $W$ $W^{\bot }.$

Eksempel

Lade være et todimensionelt rum med basis , og matrixen af den bilineære form i denne basis har formen Så er det ortogonale komplement af underrummet spændt af vektoren det sæt af vektorer, som for eksempel det ortogonale komplement af rummet spændt af vektoren falder sammen med sig selv, mens det ortogonale komplement spændes af til vektor . $V$ ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.$ ${\displaystyle ae_{1}+be_{2))$ $xe_{1}+ye_{2},$ $ay+bx=0.$ $e_{1}$ $\langle e_{1}+e_{2}\rangle$ ${\displaystyle e_{1}-e_{2))$

Noter

↑ Adkins, Weintraub (1992) s.359
↑ Maltsev A.I., Fundamentals of linear algebra, s.212.

Litteratur

Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9 , Zbl 0768.00003
Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3 , Zbl 0288.15002