Johnson kredser

Sættet af Johnson-cirkler består af tre cirkler med samme radius r , der har ét fælles skæringspunkt H . I denne konfiguration har cirklerne normalt fire skæringspunkter (punkter, gennem hvilke mindst to cirkler passerer) - dette er det fælles skæringspunkt H , gennem hvilket alle tre cirkler passerer, og et ekstra punkt for hvert par cirkler (vi vil tale om om dem som parvise skæringspunkter). Hvis to cirkler ikke skærer hinanden (men kun rører), har de kun ét fælles punkt - H , i hvilket tilfælde det anses for, at H også er deres parvise skæringspunkt. Hvis cirklerne falder sammen, tages punktet diametralt modsat punktet H som et parvist skæringspunkt . Tre punkter med parvise skæringspunkter mellem Johnson-cirklerne danner støttetrekanten Δ ABC på figuren. Konfigurationen er opkaldt efter Roger Arthur Johnson [1] [2] .

Bemærk

Hvis den oprindelige støttetrekant ABC er spidsvinklet og forudbestemt, så er dens tre Johnson-cirkler med lige store radier i kraft af Hamiltons sætning blot tre omskrevne cirkler af tre Hamilton-trekanter med to hjørner af den givne støttetrekant ABC som to hjørner, og orthocentret H af støttetrekanten som den tredje toppunkttrekant

Egenskaber

Centrene for Johnson-cirklerne ligger på en cirkel med samme radius R som Johnson-cirklen, og denne cirkel har punktet H som centrum . Selve cirklernes centre danner Johnson-trekanten ΔJ A J B J C .
En cirkel med radius 2 R centreret i punktet H , kendt som den anti-komplementære cirkel, er tangent til alle tre Johnson-cirkler ( R er radius af den omskrevne cirkel af trekanten ABC ). De tre tangentpunkter er refleksionerne af punkt H i forhold til hjørnerne af Johnson-trekanten .
Tangentpunkterne for Johnson-cirklerne og den antikomplementære cirkel danner en trekant, som kaldes den " antikomplementære trekant " eller " antikomplementære trekant " af referencetrekanten (oprindelig) ABC . Denne trekant ligner og homotetisk til Johnsons trekant med faktor 2 og lighedscenter H .
Johnsons sætning : De parvise skæringspunkter for Johnsons cirkler (hjørnepunkterne i trekanten ABC ) ligger på en cirkel med samme radius R som Johnsons cirkler. Denne ejendom er velkendt i Rumænien som Gheorghe Ciceica -problemet med fem mønter .
Støttetrekanten er lig med Johnson-trekanten og er homotetisk til den med en faktor −1. Det vil sige, at Johnson-trekanten går ind i referencetrekanten ved at dreje en af dem i en vinkel på 180 grader i forhold til deres lighedscenter.
Punkt H er orthocentret af referencetrekanten og circumcenter af Johnson trekanten .
Lighedscentret for Johnson trekanten og referencetrekanten er deres fælles centrum af ni punkter . Det vil sige, at Johnson-trekanten og referencetrekanten har en ni-punkts cirkel til fælles .
Kommentar. Hjørnerne i Johnson-trekanten er betegnet med J A , J B og J C , det vil sige det samme som centrene for referencetrekantens cirkler. De er ikke. I kraft af trefork-sætningen, for centrum af excirkelen tangent til siden , har vi , hvor centrum af referencetrekantens indskrevne cirkel er skæringspunktet for vinklens halveringslinje med trekantens omskrevne cirkel . Vi har et lignende forhold . Punktet ligger dog ikke på trekantens omskrevne cirkel (det vil sige, det er ikke en analog til punktet ), og orthocentret er ikke midten af referencetrekantens indskrevne cirkel. $J_{B}$ $AC$ $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ $jeg$ $D$ $EN$ $ABC$ $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ $J_{A}$ $ABC$ $D$ $H$ $jeg$

Bemærk

H er orthocentret af trekant ABC (så er radierne af Johnson-cirklerne ens i kraft af Hamiltons sætning ). O er midten af den omskrevne cirkel af trekanten ABC . Ligesom Hamiltons sætning giver Johnsons sætning kun mening for spidse trekanter. Punkterne J A , J B og J C er betegnet med det første bogstav i navnet Johnson , og er ikke centrene for excirklerne i trekanten ABC , som er angivet med lignende bogstaver.

Beviser

Ejendom 1 fremgår af definitionen.

Egenskab 2 er også klar - for enhver cirkel med radius r og ethvert punkt P på den, rører cirklen med radius 2 r og centrum ved P cirklen i punktet modsat punktet P . Dette gælder især også for P = H , hvor cirklen med radius 2 r er den antikomplementære cirkel C .

Ejendom 3 følger umiddelbart af definitionen af lighed.

For egenskab 4 og 5 skal du først bemærke, at to af de tre Johnson-cirkler er symmetriske om linjen, der går gennem punktet H og punktet for parvis skæringspunkt for disse cirkler (eller omkring den fælles tangent i H , hvis disse punkter falder sammen) og denne symmetri ombytter de to hjørner af de antikomplementære trekanter, der ligger på disse cirkler. De parvise skæringspunkter er således midtpunkterne i en antikomplementær trekant, og H ligger vinkelret på denne sides midtpunkt. Midtpunkterne på siderne i en hvilken som helst trekant er billederne af trekantens toppunkter under homoteti med faktoren −1 og centrum, der falder sammen med trekantens tyngdepunkt . Ved at anvende denne egenskab på en anti-komplementær trekant, som i sig selv er opnået fra en Johnson-trekant af en homoteti med en faktor 2, får vi ud fra sammensætningen af homoteterne, at den understøttende trekanten ligner Johnson-trekanten med en faktor på − 1. Da en sådan homoteti er en kongruens , giver dette egenskab 5 og beviser også Johnsons sætning, da kongruente trekanter har de samme omskrevne radier .

Egenskab 6. Det er allerede fastslået, at perpendikulerne til midtpunkterne af siderne i en antikomplementær trekant går gennem punktet H . Fordi disse sider er parallelle med siderne af referencetrekanten, er disse perpendikulære også højderne af referencetrekanten.

Egenskab 7 følger umiddelbart af egenskab 6, da lighedscentret med faktoren -1 skal ligge midt mellem midten af referencetrekantens omskrevne cirkel O og punktet H . Punktet H er orthocentret af den støttende trekants, og dens ni-punkts centrum er kendt for at være dette midtpunkt. I lyset af den centrale symmetri, der kortlægger referencetrekantens ortocenter til Johnsontrekantens orthocenter, er lighedscentret også midten af Johnsontrekantens ni punkter.

Der er også et algebraisk bevis for Johnsons sætning om cirkler ved hjælp af simple vektorformler. Der er vektorer , og , alle længder r , og Johnson cirkler har centre ved , og , henholdsvis. Så er de parvise skæringspunkter henholdsvis , og og det er tydeligt, at punktet har en afstand r til ethvert parvist skæringspunkt. ${\vec {u}}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ $H+{\vec {u))$ $H+{\vec {v))$ $H+{\vec {w))$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Yderligere egenskaber

Johnsons tre cirkler kan betragtes som refleksioner af en cirkel, der er afgrænset omkring referencetrekanten med hensyn til dens tre sider. Ydermere, når det reflekteres, går ortocentret H til tre punkter på cirklen, der er afgrænset omkring støttetrekanten, og danner hjørnerne af den ortocirkeltrekante , midten af den omskrevne cirkel O afbildes til hjørnerne af Johnson-trekanten, og dens Euler-linje ( linjen, der går gennem O , N og H ) danner tre linjer, der skærer i punktet X (110).

Johnson-trekanten og dens referencetrekant har de samme ni-punkts centre, den samme Euler-linje og de samme ni-punkts cirkler . Seks punkter - hjørnerne af referencetrekanten og spidserne af dens Johnson-trekant - ligger på Johnson-ellipsen , som har et centrum i midten af ni punkter, og punktet X (216) i referencetrekanten er dets perspektivpunkt . Den omskrevne ellipse og den omskrevne cirkel har fire fælles punkter - tre hjørner af referencetrekanten og punktet X (110).

Og endelig er der to interessante kubiske kurver beskrevet i litteraturen, der går gennem hjørnerne af støttetrekanten og dens Johnson-trekant, såvel som gennem midten af den omskrevne cirkel, ortocentret og midten af ni cirkler. Den første kurve er kendt som Musselmann-kurven - K 026. Denne kurve passerer også gennem toppunkterne i mediantrekanten og mediantrekanten i Johnson-trekanten. Den anden kurve er kendt som Euler-kurven af centre - K 044. Denne kurve passerer også gennem seks punkter - basene for højderne og baserne for højderne af Johnson trekanten.

Punktnotationen X ( i ) hører til Clark Kimberlings klassifikation i Encyclopedia of Triangle Points .

Noter

↑ Johnson, 1929 .
↑ Johnson, 1916 , s. 161-162.

Litteratur

Roger Arthur Johnson. Modern Geometry: En elementær afhandling om trekantens og cirklens geometri. - Houghton: Mifflin Company, 1929.
Roger Arthur Johnson. A Circle Theorem // American Mathematical Monthly . - 1916. - Udgave. 23 .

Johnson kredser

Bemærk

Egenskaber

Bemærk

Beviser

Yderligere egenskaber

Noter

Litteratur

Links