Norm (feltteori)

Normen er en afbildning af elementer af en endelig forlængelse E af et felt K til det oprindelige felt K , defineret som følger:

Lad E være en endelig forlængelse af feltet K af grad n , vær et element af feltet E . Da E er et vektorrum over K , definerer dette element en lineær transformation . Denne transformation kan på et eller andet grundlag være forbundet med matrixen . Determinanten af denne matrix kaldes normen for elementet α . Da kortlægningen på et andet grundlag vil svare til en lignende matrix $\alfa$ $x\mapto \alpha x$ med samme determinant afhænger normen ikke af det valgte grundlag, det vil sige, at et forlængelseselement entydigt kan forbindes med sin norm. Det betegnes eller blot , hvis det er klart, hvilken udvidelse der er tale om. $N_{K}^{E}(\alpha )$ $N(\alpha )$

Egenskaber

$N(\alpha )=0$ hvis og kun hvis . $\alpha =0$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ for enhver $\alfa \i K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
Normen er transitiv, det vil sige for en kæde af forlængelser, vi har $K\delmængde E\delmængde F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Hvis E = K ( α ) er en simpel algebraisk forlængelse og f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 er det minimale polynomium α, så ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0))$

Udtrykker normen i form af automorfismer af E over K

Lad σ 1 , σ 2 … σ m være alle automorfier af E , der holder elementer i feltet K faste . Hvis E er en Galois-udvidelse , så er m lig med graden [ E : K ] = n . Så eksisterer følgende udtryk for normen:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$

Hvis E ikke kan adskilles, så er m≠n , men n er et multiplum af m , og kvotienten er en potens af karakteristikken p .

Derefter $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Eksempel

Lad R være feltet af reelle tal , C feltet af komplekse tal betragtet som en forlængelse af R. Så svarer multiplikation med i basis til matricen $(1,i)$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

Determinanten for denne matrix er , det vil sige kvadratet af det sædvanlige modul af et komplekst tal . Bemærk, at denne norm normalt defineres som, og det stemmer godt overens med det faktum, at den eneste ikke-trivielle automorfi af feltet med komplekse tal er kompleks konjugation . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar {z)),$

Se også

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.