Funktion med flere værdier

En funktion med flere værdier er en generalisering af begrebet en funktion , der giver mulighed for flere funktionsværdier for et argument [1] .

Definition

En funktion , der forbinder hvert element i sættet med en bestemt delmængde af sættet , kaldes en funktion med flere værdier [2] , hvis værdien i det mindste for én indeholder mere end ét element $F$ $x$ $Y,$ $x\i X$ $F(x)$ $Y.$

Almindelige (enkeltværdige) funktioner kan betragtes som et specialtilfælde af flerværdifunktioner, hvor værdien består af præcis ét element.

Eksempler

Det enkleste eksempel er en kvadratrodsfunktion med to værdier af et positivt tal, den har to værdier, der adskiller sig i fortegn. For eksempel har kvadratroden af 16 to betydninger - og $+4$ $-4.$

Et andet eksempel er inverse trigonometriske funktioner (for eksempel arcsine ) - da værdierne af direkte trigonometriske funktioner gentages med et punktum , eller så er værdierne af de inverse funktioner flerværdier ("uendelige") , de har alle formen eller hvor er et vilkårligt heltal. $2\pi$ $\pi,$ $\varphi +2k\pi$ $\varphi +k\pi ,$ $k$

Funktioner med flere værdier er ubelejlige at bruge i formler, derfor er en af deres værdier ofte udskilt, hvilket kaldes den vigtigste . For en kvadratrod er dette en ikke-negativ værdi, for en arcsine en værdi, der falder inden for intervallet , og så videre. $\left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right]$

Den antiderivative funktion ( ubestemt integral ) kan også betragtes som en funktion med uendelig værdi, da den er defineret op til en integrationskonstant .

I kompleks analyse og algebra

Et typisk eksempel på funktioner med flere værdier er nogle analytiske funktioner i kompleks analyse . Tvetydigheden opstår fra analytisk fortsættelse ad forskellige veje . Også ofte opnås flerværdifunktioner ved at tage inverse funktioner .

For eksempel antager den n'te rod af et komplekst tal , der ikke er nul , nøjagtige værdier. Den komplekse logaritme har et uendeligt antal værdier, en af dem er erklæret den vigtigste. $n$

I kompleks analyse er begrebet en funktion med flere værdier tæt forbundet med begrebet en Riemann-overflade - en flade i et multidimensionelt komplekst rum, hvor en given funktion bliver enkeltværdifuld.

Se også

Multiværdi display

Bemærk

↑ G. Korn, T. Korn . Håndbog i matematik. For videnskabsmænd og ingeniører. M., 1973 Kapitel 4. Funktioner og grænser, differential- og integralregning. 4.2. Funktioner. 4,2-2. Funktioner med særlige egenskaber . ( a ), s.99. . Dato for adgang: 26. januar 2012. Arkiveret fra originalen 19. januar 2015. (ubestemt)
↑ Kudryavtsev L. D. Funktion med flere værdier // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 720.

Litteratur

Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 4. udgave - M .: Nauka , 1972 .
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.