Afslapningsmetode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Relaksationsmetoden (fra lat. relaxatio her "reduktion") er en iterativ metode til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger .

Beskrivelse af metoden

System af lineære ligninger

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matrix} \right.$

reduceret til formen [1]

$\left\{{\begin{matrix}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\ldots &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\ldots +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ matrix}}\right.$

hvor ,. _ Det vil sige alle = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ $P_{ii}$

Rester findes : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matrix}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ sum \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\sum \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{matrix}}\right.$

Den indledende tilnærmelse er valgt . Ved hvert trin er det nødvendigt at indstille den maksimale uoverensstemmelse til nul: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{er}\delta x_{s}^{(k)}$

Stop tilstand :. $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

Svaret er givet ved formlen :. $x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Noter

↑ Salvadori M.J. Numeriske metoder i teknik. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - s. 36-42

Metoder til løsning af SLAE
Direkte metoder	Matrix metode Gauss metode Gauss-Jordan metode Cramer metode LU nedbrydning Kolesky nedbrydning Feje metode
Iterative metoder	Jacobi metode Gauss-Seidel metode Iterationsmetode Afslapningsmetode Konjugeret gradientmetode Bikonjugeret gradientmetode Stabiliseret bikonjugat gradientmetode
Generel	omvendt matrix Projektionsmetoder til løsning af SLAE Forkonditionering