Skift matrix
En forskydningsmatrix (også en forskydningsmatrix ) er en binær matrix med enere kun på den primære superdiagonal eller subdiagonal og nuller andre steder. En skiftmatrix U med enheder på superdiagonalen kaldes en øvre skiftmatrix . Den tilsvarende subdiagonale matrix L kaldes en lavere-forskydningsmatrix . Komponenterne af matricerne U og L med indekser ( i , j ) har formen
hvor er Kronecker delta-symbolet .
For eksempel en skift 5×5 matrix
Det er klart, at transponering af en lavere-shift-matrix resulterer i en øvre-shift-matrix og omvendt. Multiplikation fra venstre for en vilkårlig matrix A med en lavere-shift matrix fører til en forskydning af elementerne i matrix A ned med én position, og den øverste række af den resulterende matrix er fyldt med nuller. Højre multiplikation af en vilkårlig matrix A med en lavere forskydningsmatrix resulterer i et skift til venstre med én position, hvorved den højre kolonne fyldes med nuller. Lignende operationer, der involverer den øvre skiftmatrix, fører til modsatte skift.
Alle forskydningsmatricer er nilpotente : forskydningen n×n -matrix S til potensen lig med dens dimension n er lig med nulmatricen .
Egenskaber
Lad L og U være n×n forskydningsmatricer, henholdsvis nedre og øvre. Følgende egenskaber er sande for både matricer U og L (så vi angiver dem kun for U ):
- Determinant det( U ) = 0 ( degeneration );
- Spor tr( U ) = 0;
- Rank rang( U ) = n − 1
- Det karakteristiske polynomium af matrixen U har formen:
- U n = 0 (nilpotens). Denne egenskab følger af den foregående af Hamilton-Cayley-sætningen .
- Permanent per( U ) = 0.
Følgende egenskaber viser, hvordan U- og L -matricerne hænger sammen:
- L T \ u003d U ; U T = L .
- Kerner af matricer U og L :
- Spektret af matricer U og L er nul (det vil sige, at de har en enkelt egenværdi, og den er lig med nul): . Den algebraiske multiplicitet af dette nul er n , og dens geometriske multiplicitet er 1. Det følger af udtrykkene for kernerne, at den eneste (op til skalering) egenvektor af matricen U har formen, og den eneste egenvektor af matricen L har form
- For produkter LU og UL har vi:
Begge disse matricer er idempotente , symmetriske og har samme rang som U og L.
- L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( identitetsmatrix ), for ethvert heltal a fra 0 til n inklusive.
Eksempler
Derefter:
Det er klart, at der er mange forskellige permutationer. For eksempel svarer matrixen til forskydningen af matrix A op og til venstre langs hoveddiagonalen.
