Overgangsmatrix

I lineær algebra er grundlaget for et vektorrum af dimension en sekvens af vektorer , således at enhver vektor i rummet kan repræsenteres entydigt som en lineær kombination af basisvektorer. Med et givet grundlag er operatorerne repræsenteret som kvadratiske matricer . Da det ofte er nødvendigt at arbejde med flere baser i det samme vektorrum, er det nødvendigt at have en regel for oversættelse af vektorers og operatorers koordinater fra basis til basis. En sådan overgang udføres ved hjælp af overgangsmatrixen . $n$ $n$ $(\alpha _{1},...,\alpha _{n})$

Definition

Hvis vektorer er udtrykt som vektorer som: $\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}}$ $\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}}$

\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n1}\mathbf {a} _{n}

\mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n2}\mathbf {a} _{n}

\ldots

\mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}

så vil overgangsmatrixen fra basis til basis ) være: $(\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} )$ $(\mathbf {b_{1)) ,\cdots ,\mathbf {b_{n))$

{\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&...&\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&. ..&\alpha _{2n}\\...&...&...&...\\\alpha _{n1}&\alpha _{n2}&...&\alpha _{ nn}\end{pmatrix}}

Brug

Når man multiplicerer matrixen inverse til overgangsmatrixen med en søjle sammensat af koefficienterne for en vektors udvidelse i form af basis , får vi den samme vektor udtrykt i form af basis . $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$

Eksempel

For at rotere en vektor med en vinkel θ mod uret, kan du gange rotationsmatricen med den:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

Matricer af de mest almindelige transformationer
	I todimensionelle koordinater	I homogene todimensionelle koordinater	I homogene tredimensionelle koordinater
Skalering Når a , b og c er skaleringsfaktorerne langs henholdsvis akserne OX , OY og OZ :	${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
Tur Når φ er rotationsvinklen for billedet i todimensionelt rum	Med uret ${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix))$	I forhold til OX ved vinklen φ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi &0\\0&\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$	I forhold til OY ved vinklen ψ ${\begin{bmatrix}\cos \psi &0&\sin \psi &0\\0&1&0&0\\-\sin \psi &0&\cos \psi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
	Mod uret ${\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix))$		I forhold til OZ med vinklen χ ${\begin{bmatrix}\cos \chi &-\sin \chi &0&0\\\sin \chi &\cos \chi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
bevæger sig For a , b og c -offset langs akserne henholdsvis OX , OY og OZ .	I ikke-homogene koordinater har den ikke en matrixrepræsentation.	${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Egenskaber

Overgangsmatrixen er ikke- degenereret . Det vil sige, at determinanten af denne matrix ikke er lig med nul.
$P_{{e\rightarrow e'}}^{{-1}}=P_{{e'\rightarrow e}}$

Eksempel på matrixopslag

Lad os finde overgangsmatricen fra basis til identitetsgrundlag ved elementære transformationer $a_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}},a_{{2}}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2 \end{pmatrix}},a_{{3}}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}}$ $b_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},b_{{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{ pmatrix}},b_{{3}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{array}}\right)$ følgelig $P_{{a\rightarrow b}}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix}}$