Sylvesters kriterium

Sylvester-kriteriet bestemmer, om en symmetrisk kvadratisk matrix er positiv (negativ, ikke-negativ) bestemt .

Lad den kvadratiske form have en matrix på et eller andet grundlag

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_ {{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right| .

Så er denne form positiv bestemt , hvis og kun hvis alle dens vinklede minorer af størrelserne i × i , hvor i spænder over alle heltal fra 1 til n inklusive, er positive; og er negativ bestemt, hvis og kun hvis tegnene veksler, desuden [1] . Her er de vinkelformede minorer i en matrix formens determinanter $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1}<0$ $EN$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{ 2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

Bevis

Et kriterium for den positive bestemthed af en kvadratisk form

Det siger kriteriet

For at en kvadratisk form skal være positiv bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt , at de vinkelformede mol af dens matrix er positive.

Hans bevis er baseret på Jacobis metode til at reducere en kvadratisk form til en kanonisk form.

Bevis for nødvendighed

Lade være en positiv bestemt andengradsform. Så er det j -te diagonale element positivt, da , hvor er en vektor med alle nulkoordinater undtagen j -th. Når du reducerer matricen til den kanoniske form, på grund af ikke-degenerationen af de kantede mindreårige, skal rækkerne ikke omarrangeres, derfor vil fortegnene for de vigtigste mindreårige i matrixen ikke ændre sig. Og i den kanoniske form er de diagonale elementer positive, og derfor er de mindre positive; derfor, (da deres fortegn ikke ændrede sig under transformationer) for en positiv bestemt kvadratisk form på et hvilket som helst grundlag, er de vigtigste minorer i matrixen positive. $q(x)$ $q(e_{j})>0$ $e_j$

Tilstrækkelighedsbevis _

Der er givet en symmetrisk kvadratisk form, hvis kantede mindretal er positive. Overvej først det første diagonale element i dets kanoniske form: dets fortegn bestemmes af den første vinkel-moll. Ydermere bestemmer fortegnet for tallet fortegnet for ( i + 1) element i den diagonale form. Det viser sig, at i den kanoniske form er alle elementer på diagonalen positive, det vil sige, at den kvadratiske form er positivt defineret. [2] ${\displaystyle \Delta _{i+1}/\Delta _{i))$

Et kriterium for den negative bestemthed af en kvadratisk form

For at en kvadratisk form skal være negativ bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens matrixs lige store vinkelform er positive og ulige orden negative.

Beviset reduceres til det foregående tilfælde, da en matrix er negativ bestemt, hvis og kun hvis matrixen er positiv bestemt. Når en matrix erstattes af sin modsætning, skifter de primære mindreårige af ulige rækkefølge fortegn, mens de primære mindreårige af lige rækkefølge forbliver de samme på grund af determinanternes grundlæggende egenskaber. $EN$ $-EN$ $EN$

Et kriterium for semidefiniteness af en kvadratisk form

For positive semibestemte matricer er kriteriet det samme: Formen er positiv semibestemt, hvis og kun hvis alle primære minorer er ikke-negative. Her er den primære minor determinanten for en submatrix, der er symmetrisk i forhold til hoveddiagonalen, det vil sige en submatrix, hvis sæt af kolonne- og rækkenumre, der angiver det, er de samme (f.eks. 1. og 3. kolonne og rækker ved det skæringspunkt, hvor matricen er placeret) [3] .

Ikke-negativiteten af kun kantede mindreårige er ikke nok, hvilket følger af modeksemplet : , men formen er ikke positiv semibestemt. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$

Se også

James Joseph Sylvester

Noter

↑ Sylvesters kriterium for tegnbestemthed af en kvadratisk form . (ubestemt)
↑ D. V. Beklemishev, Course of Analytic Geometry and Linear Algebra , Moskva: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Algebra og analytisk geometri: sætninger og problemer. T. 2.2 . - Moskva: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 s. — ISBN 5-94373-077-X .