Kokerne

I kategoriteori er cokernelen kernens dobbelte koncept - kernen er subobjektet af preimage, og cokernelen er kvotienten af ankomstdomænet. Intuitivt, når man leder efter en løsning til en ligning, bestemmer cokernelen antallet af begrænsninger, som y skal opfylde , for at den givne ligning har en løsning. $f(x)=y$

Definition

Lad C være en kategori med nul morfismer . Så er cokernen af morfismen f : X → Y co - equalizeren for den og nulmorfismen 0 : X → Y . Mere eksplicit gælder følgende generiske egenskab :

En kokkerne f : X → Y er en morfisme q : Y → Q således, at:

q o f er nulmorfismen fra X til Q ;

For enhver morfisme sådan - nul er der en unik morfisme , således at følgende diagram er kommutativt: $q':Y\to Q'$ $q'\cirkel f$ $u:Q\to Q'$

Som andre universelle konstruktioner eksisterer kokernen ikke altid, men hvis den eksisterer, så er den defineret op til isomorfi.

Som enhver coequalizer er en cokernel altid en epimorfi . Omvendt kaldes en epimorfi normal (nogle gange konormal), hvis den er cokernen af en eller anden morfisme. En kategori kaldes konormal, hvis hver epimorfi i den er normal.

Særlige lejligheder

I en Abelsk kategori er billedet og sambilledet af en morfisme givet som

{\mathrm {im}}(f)=\ker({\mathrm {koker}}f)

{\mathrm {coim}}(f)={\mathrm {coker}}(\ker f)

Især enhver epimorfi er sin egen kokerne.

Litteratur

S. McLane Kategorier for en arbejdende matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Paolo Aluffi Algebra: Kapitel 0 (Kandidatstudier i matematik). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3 .