Den hessiske konfiguration er en konfiguration af 9 punkter og 12 linjer med tre punkter på hver linje og fire linjer, der går gennem hvert punkt. Det blev betragtet af Colin Maclaurin og undersøgt af Otto Hesse (1844) [1] . Konfigurationen kan realiseres i det komplekse projektive plan som et sæt af bøjningspunkter for en elliptisk kurve , men der er ingen realisering på det euklidiske plan .
Hessen-konfigurationen har de samme indfaldsrelationer som linjerne og punkterne i det affine plan over et felt med 3 elementer . Det vil sige, at punkter i Hesse-konfigurationen kan identificeres med ordnede par af heltal modulo 3, og linjer kan henholdsvis identificeres med tripler af punkter ( x , y ), der opfylder de lineære ligninger ax + by = c (mod 3). Alternativt kan konfigurationspunkterne identificeres med kvadraterne i feltet med tic-tac-toe (3x3), og de rette linjer kan identificeres med feltets lige og brudte diagonaler [2] .
Hvert punkt ligger på fire linjer - i fortolkningen af konfigurationen som felter af tic-tac-toe, er en linje vandret, en er lodret, og to linjer er diagonaler eller brudte diagonaler. Hver linje indeholder tre punkter, så i konfigurationssproget er den hessiske konfiguration skrevet 9 4 12 3 .
Automorfigruppen i den hessiske konfiguration har orden 216 og er kendt som den hessiske gruppe .
Fjernelse af ethvert punkt og de linjer, der falder ind dertil fra Hesse-konfigurationen, giver en anden konfiguration af type 8 3 8 3 , Möbius-Cantor-konfigurationen [3] [4] [5] .
I Hesse-konfigurationen kan 12 linjer grupperes i fire tripletter af parallelle (ikke-skærende) linjer. Fjernelse fra Hesse-konfigurationen tre linjer inkluderet i en af triplerne giver en konfiguration af typen 9 3 9 3 , Papp-konfigurationen [4] [5] .
Hesse-konfigurationen kan udvides ved at tilføje fire punkter, et for hver tripel af ikke-skærende linjer, og tilføje en linje, der indeholder disse nye fire punkter. En sådan forlængelse giver en konfiguration som 13 4 13 4 , et sæt punkter og linjer i det projektive plan over et tre-element felt.
Hesse-konfigurationen kan realiseres i det komplekse projektive plan som 9 vendepunkter af en elliptisk kurve og 12 rette linjer, der går gennem tripletter af vendepunkter. Hvis et givet sæt af ni punkter i det komplekse plan er sættet af bøjningspunkter for en elliptisk kurve C , så er det sættet af bøjningspunkter for enhver kurve i kurvebundtet dannet af C og dets hessiske kurve, det hessiske bundt [6] .
Hessen-konfigurationen har sammen med Möbius-Cantor-konfigurationen komplekse realiseringer i komplekse rum, men ingen realisering med rette linjer i det euklidiske plan . I Hesse-konfigurationen er to punkter forbundet med en linje fra konfigurationen (som er definitionen af Sylvester-Galai-konfigurationen ), og derfor indeholder enhver linje, der går gennem to af dens punkter, et tredje punkt. Men i det euklidiske rum er ethvert endeligt antal punkter enten kollineært eller, ifølge Sylvesters sætning , et par punkter, der ikke indeholder sætpunkter på linjen gennem disse to punkter. Da Hesse-konfigurationen overtræder Sylvesters teorem, kan den ikke have en euklidisk implementering. Dette eksempel viser, at Sylvesters teorem ikke kan generaliseres til det komplekse projektive plan. I komplekse rum skal Hesse-konfigurationen og alle Sylvester-Galai-konfigurationer imidlertid ligge i et todimensionelt fladt underrum [7] .