Möbius-Cantor-konfigurationen er en konfiguration bestående af otte punkter og otte linjer, således at tre punkter ligger på hver linje og tre linjer passerer gennem hvert punkt. Det er ikke muligt at tegne punkter og linjer med denne incidensmodel på det euklidiske plan , men det er muligt at tegne på det komplekse projektive plan .
August Möbius [1] spurgte, om der eksisterer et par polygoner med hver p -sider, der har den egenskab, at hvert hjørne af den ene polygon ligger på en linje, der går gennem en side af den anden, og omvendt. Hvis et sådant par eksisterer, skal hjørnerne og siderne af disse polygoner danne en projektiv konfiguration . For p = 4 har dette problem ingen løsning på det euklidiske plan , men Kantor [2] fandt et par polygoner af denne type i en generaliseret version af problemet, hvor hjørnerne og kanterne tilhører det komplekse projektive plan. I Cantors løsning er koordinaterne for polygonens hjørner således komplekse tal . Cantors løsning for p = 4, et par indbyrdes indskrevne firkanter i det komplekse projektive plan, kaldes Möbius-Cantor-konfigurationen.
Coxeter [3] foreslog følgende simple homogene koordinater for de otte punkter i Möbius-Cantor-konfigurationen:
(1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1), (−1,ω 2 ,1), (1,ω,0), (0,1,0), (0,−1,1),hvor ω angiver den komplekse terningrod af 1 .
Mere generelt kan Möbius-Cantor-konfigurationen beskrives som et system med otte punkter og otte tripler af punkter, hvor hvert punkt er inkluderet i præcis tre tripler. Under yderligere betingelser (naturlige for punkter og linjer), nemlig at intet par af punkter hører til mere end to tripler, og at ingen to tripler skærer mere end to punkter, er to systemer af denne type ækvivalente op til permutation af punkter. Således er Möbius-Cantor-konfigurationen den eneste projektive konfiguration af typen (8 3 8 3 ).
Möbius-Cantor-grafen tager sit navn fra Möbius-Cantor-konfigurationen, da det er Levi-grafen for denne konfiguration. Grafen har et toppunkt for hvert konfigurationspunkt og et toppunkt for hver tripel, og kanter forbinder to toppunkter, hvis det ene toppunkt svarer til et punkt og det andet til et tripel der indeholder det punkt.
Möbius-Cantor-punkter og direkte konfigurationer kan beskrives som en matroide , hvis elementer er konfigurationspunkter, og ikke-trivielle baser er direkte konfigurationer. I denne matroide er sættet S af punkter uafhængigt, hvis og kun hvis enten | S | ≤ 2, eller S består af tre ikke-kollineære punkter. Denne matroide blev opkaldt MacLanes matroid efter MacLane beviste [4] at en sådan matroide ikke kan orienteres . Det er en af de få kendte minor-minimal ikke-orienterbare matroider [5] .
Løsningen af Möbius-problemet med gensidigt indskrevne polygoner for værdier på p større end fire er også af interesse. Især en mulig løsning for p = 5 er en Desargues-konfiguration på 10 punkter og 10 linjer, som kan realiseres i det euklidiske rum.
Möbius-konfigurationen er en tredimensionel analog af Möbius-Cantor-konfigurationen, bestående af to indbyrdes indskrevne tetraedre.
Möbius-Cantor-konfigurationen kan udvides ved at tilføje fire linjer gennem fire par punkter, der ikke tidligere var forbundet med linjer, og tilføje et niende punkt ved skæringspunktet mellem disse fire linjer. Som et resultat får vi Hesse-konfigurationen , der ligesom Möbius-Cantor-konfigurationen kan realiseres i komplekse koordinater, men ikke i reelle [6] . Fjernelse af ethvert punkt fra Hesse-konfigurationen giver en kopi af Möbius-Cantor-konfigurationen.