Stone-Cech komprimering

Stone-Cech komprimering (også Stone-Cech eller Cech- Stone komprimering ) er den maksimale komprimering af et helt regulært topologisk rum .

Stone-Cech-komprimeringen af et rum betegnes normalt som . $x$ $\beta X$

Historie

Stone-Cech komprimeringskonstruktionen blev først overvejet af Tikhonov [1] i 1930. Det blev beskrevet mere eksplicit i 1937 af Stone [2] og Eduard Cech [3] .

Generisk egenskab

$\beta X$ er et kompakt Hausdorff-rum sammen med en kontinuert kortlægning fra at opfylde følgende universelle egenskab : enhver kontinuerlig mapping til et kompakt Hausdorff-rum kan unikt udvides til en kontinuerlig mapping , således at følgende diagram er kommutativt : $x,$ $f:X\to K$ $K$ $\beta f:\beta X\to K,$

I det tilfælde, hvor det oprindelige rum var fuldstændig regulært, er kortlægningen en homeomorfisme på billedet af denne kortlægning (det vil sige en indlejring ). $x$ $X\to \beta X$ $x$

Bemærk

Selvom den universelle egenskab entydigt definerer en komprimering op til en isomorfisme , skal man for at bevise eksistensen af en komprimering beskrive en eksplicit konstruktion.

Konstruktion

Betegn ved sættet af alle kontinuerlige funktioner . Det kan verificeres, at kortlægningen ( Tikhonovs terning ) defineret af ligheden $EN$ $\alpha \colon X\til [0,1]$ $F:X\to [0,1]^{A}$

{\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A))

er en homøomorfisme på sit image . Lukningen i og vil være den ønskede komprimering. $x$ $F(X)\subset [0,1]^{A}$ $F(X)$ $[0,1]^{A}$

Egenskaber

Hvis det er et diskret rum , er dets komprimering sættet af ultrafiltre på gitteret af delmængder udstyret med stentopologien . Som en base af åbne sæt af stentopologien på sættet af ultrafiltre kan vi tage sæt til alle mulige $x$ $x,$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Noter

↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, - Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544-561
↑ Stone, MH (1937), Anvendelser af teorien om booleske ringe til generel topologi, - Trans. amer. soc. (Transactions of the American Mathematical Society, bind 41, nr. 3) 41 (3): 375-481
↑ Čech, E. (1937), Om bikompakte rum, - Ann. Matematik. (The Annals of Mathematics, bind 38, nr. 4) 38 (4): 823-844

Litteratur

Stone-Cech bicompact extension - Encyclopedia of Mathematics artikel . Kozhevnikova I.G.
Dror Bar-Natan , Ultrafiltre, Compactness og Stone-Čech kompakteringen