Kommutativitet

Kommutativitet , kommutativ lov ( sen latin commutativus - skiftende) - en egenskab ved den binære operation " ", som består i muligheden for at omarrangere argumenter: $\cirk$

x\cirkel y=y\cirkel x

for eventuelle elementer .

x,\;y

Især hvis gruppeoperationen er kommutativ, siges gruppen at være abelsk . Hvis operationen af multiplikation i en ring er kommutativ, så siges ringen at være kommutativ.

Udtrykket "kommutativitet" blev introduceret i 1815 af den franske matematiker François Joseph Servois .

Eksempler:

sum og produkt af reelle tal er kommutative: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
konjunktion og disjunktion er kommutative: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
union , skæringspunkt og symmetrisk mængdeforskel er kommutative: $A \kop B = B \kop A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.$

Mange binære operationer er associative , men generelt ikke-kommutative, såsom for eksempel matrixmultiplikation :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, men

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} = \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

og strengsammenkædning :

"a" + "b" = "ab", men "b" + "a" = "ba".

Desuden er ikke enhver kommutativ operation associativ (der er kommutative magmaer med en ikke-associativ operation).

Der er en række generaliseringer af begrebet kommutativitet for operationer med mere end to argumenter (forskellige varianter af symmetri).

Kommutative operationer danner et omfattende lag af algebraiske strukturer , som har mange "gode" egenskaber, der ikke er iboende i ikke-kommutative strukturer (f.eks. kommutative grupper i sammenligning med ikke- abiske ), i mange grene af matematikken, teknikken til reduktion af problemer til kommutative strukturer bruges til mere undersøgte og mere bekvemme egenskaber. Kommutativ algebra er en generel algebraisk retning, der studerer egenskaberne af kommutative ringe og relaterede kommutative objekter ( moduler , idealer , divisorer , felter ).

Kommutativitet

Links