Coalgebra

En koalgebra er en matematisk struktur, der er dobbelt (i betydningen af vende pile) til en associativ algebra med en enhed . Aksiomerne for en enhedsassociativ algebra kan angives i form af kommutative diagrammer . Koalgebraaksiomerne opnås ved at vende pilene om. Hver koalgebra med dualitet (af et vektorrum) genererer en algebra, men ikke omvendt. I det endelig-dimensionelle tilfælde er der dualitet i begge retninger. Koalgebraer forekommer i forskellige tilfælde (for eksempel i universelle omsluttende algebraer og gruppeskemaer ). Der er også en F-coalgebra , som har vigtige anvendelser inden for datalogi .

Definition

En koalgebra over et felt K er et vektorrum C over K sammen med K -lineære afbildninger og , sådan at $\Delta : C \to C \otimes_K C$ $\epsilon : C \til K$

$(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$
$(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$ .

(Her og betyder tensorproduktet over K .) $\ nogle gange$ $\nogle gange_K$

Tilsvarende pendler følgende to diagrammer :

I det første diagram identificerer vi os med som to naturligt isomorfe rum. [1] Tilsvarende naturligt isomorfe rum , og er identificeret i det andet diagram . [2] $C\otimes (C\otimes C)$ $(C \ nogle gange C) \ nogle gange C$ $C$ $Nogle gange K$ $K\otimes C$

Det første diagram er dobbelt til diagrammet, der udtrykker associativiteten af multiplikationsoperationen af en algebra (og kaldes koassociativiteten af comultiplication); det andet diagram er dobbelt til diagrammet, der udtrykker eksistensen af et multiplikativt neutralt element . Derfor kaldes kortet Δ comultiplication (eller coproduct ) i C , og ε er tallet af C.

Eksempel

Betragt en mængde S og form et vektorrum over K med basis S . Elementerne i dette vektorrum er funktioner fra S til K , der afbilder alle undtagen et endeligt antal elementer af S til nul; vi identificerer et element s af S med en funktion, der afbilder s til 1 og alle andre elementer af S til 0. Vi vil betegne dette rum som C . Vi vil bestemme

\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ og } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.

Δ og ε kan entydigt udvides til alle C ved linearitet . Vektorrummet C bliver til en koalgebra med comultiplication Δ og count ε (at kontrollere dette er en god måde at vænne sig til at bruge koalgebraaksiomer).

Finit-dimensional case

I det endelig-dimensionelle tilfælde er dualiteten mellem algebra og koalgebra tættere: objektet dual til en finit-dimensional (unitær associativ) algebra er en koalgebra, og dual til en finit-dimensional koalgebra er en (unitær associativ) algebra. Generelt set behøver et objekt dual til en algebra ikke at være en koalgebra.

Dette følger af det faktum, at for finit-dimensionelle rum er ( A ⊗ A )* og A * ⊗ A * isomorfe.

Endnu en gang: algebra og koalgebra er dobbeltbegreber (aksiomerne, der definerer det ene, fås fra det andets aksiomer ved at vende pile), mens de for finitdimensionelle rum også er dobbeltobjekter .

Noter

↑ Yokonuma (1992), s. 12 , Prop. 1.7.
↑ Yokonuma (1992), s. 10 , prop. 1.4.

Se også

Litteratur

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , vol. 235 (1. udg.), Ren og anvendt matematik, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Yokonuma, Takeo (1992), Tensorrum og udvendig algebra , vol. 108, Oversættelser af matematiske monografier, AMS Boghandel, ISBN 9780821845646 .
Bourbaki, Nicolas. Algebra (ubestemt) . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-19373-1 . . Kapitel III, § 11.